1樓：匿名使用者
^由於 a^n = 0
所以 a^(n-1) (a^kη) = a^(n-1+k)η = 0, k=1,2,...,n-1
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 都是 a^(n-1)x=0 的解
由於 a^(n-1)≠0
所以 r(a^(n-1)) >=1
所以 a^(n-1)x=0 的基礎解系含 n-r(a^(n-1)) <= n-1 個向量
所以只需證明 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 線性無關, 則它就是a^(n-1)x=0 的基礎解系
設 k1aη+k2a^2η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (1)
等式兩邊乘a^(n-2), 則已知得 k1a^(n-1)η=0
由於 a^(n-1)η≠0, 所以 k1=0.
(1)式化為 k2a^2η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (2)
等式兩邊乘a^(n-3), 則已知得 k2a^(n-1)η=0
由於 a^(n-1)η≠0, 所以 k2=0.
(1)式化為 k3a^3η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (3)
如此下去得 k1=k2=...=kn-1=0
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 線性無關.
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 是a^(n-1)x=0 的基礎解系
2樓：匿名使用者
要證：a^k η ，k從1到n-1 是 a^(n-1) x = 0 的基礎解系。
首先，對任意 k，a^k η 都是解，這是因為：
a^(n-1) (a^k η) = a^(k-1) (a^n η) = a^(k-1) 0 = 0
其次，由於 a^(n-1) ≠ 0，所以 a^(n-1) 的秩至少是1。
所以，n階矩陣 a^(n-1) 的零空間至多有 n-1 維。
所以，如果 a^k η ，k從1到n-1 這 n-1 個向量線性無關的話，那麼它們必然構成乙個基礎解系。
下面我們證明 a^k η ，k從1到n-1 線性無關。
用數學歸納法。
第1步，a^(n-1) η 線性無關，就乙個向量，當然線性無關。
第2步，a^(n-1) η 和 a^(n-2) η 線性無關。
因為 a^(n-1) η = a (a^(n-2) η) ≠ 0，所以 a^(n-2) η 不在 ax = 0 的零空間中。
而 a^n η = a (a^(n-1) η) = 0，所以 a^(n-1) η 在 ax = 0的零空間中。
因為零空間是線性子空間，所以屬於它的向量和不屬於它的向量線性無關。
……第m步，假設 a^(n-1) η、a^(n-2) η、...、a^(n-m+1) η 都已線性無關，要證 a^(n-m) η 也與它們都線性無關。
因為 a^(n-1) η = a^(m-1) (a^(n-m) η) ≠ 0，所以 a^(n-m) η 不在 a^(m-1)x = 0 的零空間中。
而對於任意 k < m，a^(n+m-k-1) η = a^(m-1) (a^(n-k) η) = 0，
所以，對於任意 k < m，a^(n-k) η 在 a^(m-1)x = 0的零空間中。
因為零空間是線性子空間，所以屬於它的向量和不屬於它的向量線性無關。
……綜上，所有的 a^k η ，k從1到n-1 線性無關。
最後，多說幾句，關於冪零矩陣的性質。
一般的n階冪零矩陣：a^m = 0，但 a^(m-1) ≠ 0。
m不一定等於n，可以證明：m<=n。
a、a^2、...、a^m 的零空間是真包含關係：
ker(a) < ker(a^2) < ... < ker(a^(m-1)) < ker(a^m) = v
其中，ker(a^k) 代表 a^k 的零空間，< 代表真包含的符號（打不出來）。
可以這麼證：
首先，若 a^k x = 0，則 a^(k+1) x = a (a^k x) = 0，所以 ker(a^k) <= ker(a^(k+1))。
再證明它們是真包含，也就是把等號去掉。
反證法。假設 ker(a^k) = ker(a^(k+1))
對於任意的x，若 a^(k+2) x = 0，即 a^(k+2) x = a^(k+1)(ax) = 0，
所以 ax ∈ ker(a^(k+1)) = ker(a^k)，所以 a^k (ax) = a^(k+1) x = 0，
所以 ker(a^(k+2)) = ker(a^(k+1)) = ker(a^k)
於是，這麼推下去，對於任意的 p > k，ker(a^p) = ker(a^k)
最後有：v = ker(a^m) = ker(a^k)，也就是 a^k 必須全零，矛盾。
再結合我們這道題：a^n = 0，a^(n-1) ≠ 0。
ker(a) < ker(a^2) < ... < ker(a^(n-1)) < ker(a^n) = v
所以，只能是：ker(a^k) 是個k維空間，有k個線性無關的向量。
而 a^(n-k) η 就是 ker(a^k) 比前面的空間多出的那個線性無關的向量。
大學線性代數證明題，設a為n階矩陣,且滿足aat=e,a的行列式小於零,證明-1是a的乙個特徵值
3樓：應該不會重名了
|因為aat=e，所以
a為正交矩陣，且|a|<0，所以|a|=-1|a+e|
=|a+aa^內t|
= |a(e+a^t)|
這一步驟是怎麼推倒的？容
證明假設a特徵值為λ，則a^()-1=a^t，特徵值相同：λ=1/λλ^2=，λ=1.-1
4樓：
正確。實際上用不到相似，|a+e|=...=|a(a^t+e|=|a|*|a^t+e|=-|a+e|，所以|a+e|=0。
設n階矩陣a的伴隨矩陣為a*,證明： （1）若|a|=0，則|a*|=0; (2)|a*|=|a|^n-1 10
5樓：墨汁諾
||||(1)證：
如果r(a)式行列式都為0
由伴隨陣的定義，a*=0
∴|a*|=0
如果r(a)=n-1
a(a*)=|a|e=0
a*的列向量內為ax=0的解，根據線性方容程組理論r(a)+r(a*)≤n
∴r(a*)≤1
∴|a*|=0
結論得證！
(2)如果|a|=0，利用(1)的結論，|a*|=0∴|a*|=|a|^(n-1)
如果|a|≠0，
∵a(a*)=|a|e
∴|a(a*)|=||a|e|【注意|a|是常數，計算行列式提出來就是|a|^n】
即：|a||a*|=|a|^n
∴|a*|=|a|^(n-1)
6樓：匿名使用者
請參考:
有問題請追問
7樓：小羅
|證：(1). 根據 a * a* = |a| * e，其中e為 n 階單位陣.
|a| = 0，=> a * a* = 0.
若 a = 0 ，即 a 為 0 矩陣，那麼顯然 |a*| = 0；
若 a ≠ 0，假設回 |a*| ≠ 0，則 a* 可逆
答， a * a* = 0 => a = 0 ，矛盾，故也有 |a*| = 0.
綜上，|a*| = 0.
(2). a * a* = |a| * e，兩邊取行列式 => |a * a*| = |a| * |a*| = |a|^n. (ss)
若 |a| = 0，由 (1) 知，|a*| = 0，滿足：|a*|=|a|^(n-1)；
若 |a| ≠ 0，(ss) 式子兩邊除以 |a| 就得到：|a*|=|a|^(n-1).
綜上，|a*|=|a|^(n-1).
8樓：樂意丶
這個由前一道題可以直接推出答案，第23題做了嗎？線代第二章章末的第23題，這是我的答案，沒有幾步，因為主題證明已經在23題給出了。
9樓：313傾國傾城
【分析】：
(1)將條件分為a=o和a≠o兩種情況，利用公式aa*=｜a｜e，通過反證法證明．
(2)同樣，分為a=o和a≠o兩種情況證明．【證明】：
矩陣問題： 設n階矩陣a的伴隨矩陣為a*， 證明：（1）若|a|=0，則|a*|=0； （2）|a*|=|a|^(n-1)
10樓：匿名使用者
(1) |a|=0 則秩<=n-1
若秩元素都為0
若秩=n-1, 則a*不等於0矩陣，且由aa*=|a|e=0知， a*的列向量為ax=0的解，從回而秩a*=1
綜上答可知秩a*<=1, 顯然 |a*|=0(2) 若|a|=0結論顯然成立
若|a|不等於0，則由 aa*=|a|e兩邊取行列式，可得結論。
11樓：匿名使用者
(1) 是(2) 的特殊情況
證明請看**:
12樓：匿名使用者
||以|(1)第一zhi個用秩性質簡單
|a|=0則r(a)|a*|=0
(2)第二個dao用性質專aa*=|a|e所以|aa*|=|a||屬a*|=||a|e|=|a|^n當a不可逆時|a||a*|==0=||a|e|=|a|^n=|a|^(n-1)=0恆成立
當a可逆）|a*|=|a|^(n-1)
線性代數設A為n階可逆矩陣，證明fxTATA
ax 是一列向量,ax t ax 是 ax 與 ax 的內積,即 ax 的長度的平方 也等於 ax 各分量平方之和.ax不是方陣，而是豎著的一 長串數字組成的向量吧？你的理解是對的。ax 是一列向量,ax t ax 是 ax 與 ax 的內積,即 ax 的長度的平方 從另乙個角度這時候是對角矩陣型的...
線性代數急設a為n階矩陣aatideta
a i t at it,det a i t det a i 這些都是矩陣 行列式的基本性質，認真把書上的內容理解了吧！線性代數 設a為n階矩陣,aat i,deta 1,證明,det i a 0 你好！因為i是單位陣，所以aa t a aa t ai a a t i 經濟數學團隊幫你解答，請及時採納...
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題目錯誤。a 為 n 階方陣，若方程組 ax 0 只有唯一零解，則 a 0。因方程組 ax 0 只有唯一零解，故可用克萊姆法則求解。用克萊姆法則求解的充要條件是 a 0 用向量解釋吧抄 對於齊次襲 線性方程來說 向量線性相關的充要條件是 1.方程組ax 0 有唯一解 2.秩小於n 秩你沒看到 咱說1...