1樓：匿名使用者
原函式單調，則反函式也單調，這是對的，直接根據單調的定義就能知道。
但是原函式可導，不代表反函式可導。
例如原函式y=f（x），其反函式為y=g（x）
就只證明f（x）是單調增函式的情況，f（x）是單調減函式可以類似證明，就不證明了。
如果y=f（x）是單調增函式，證明y=g（x）也是單調增函式。
因為y=f（x）是單調增函式，所以對於任意不相等的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）
因為y=g（x）是f（x）的反函式，所以對於任意不相等的y1＜y2，都有對應的x1＜x2（因為g（x）的y就是f（x）的x；g（x）的x就是f（x）的y）
假設y=g（x）不是單調增函式，即能找到兩個不相等的x3＜x4有g（x3）≥g（x4）
如果等號成立，g（x）相同的函式值對應不同的自變數，那麼f（x）就會出現同乙個自變數對應兩個函式值，和函式的定義不符，所以等號不能成立。
如果大於號成立，那麼對於g（x4）＜g（x3）這兩個函式值，對應的自變數x3＞x4，於前面知道的g（x）對於任意不相等的y1＜y2，都有對應的x1＜x2的性質矛盾
所以y=g（x）必然也是單調增函式。
當y=f（x）是單調減函式時，也可以類似證明反函式y=g（x）也是單調減函式。
y=x³這函式在全體實數範圍內都是可導的。
它的反函式y=x的立方根，在x=0這點不可導。
所以原函式可導，不代表反函式可導。
原函式可導，導函式一定連續,原函式可導，導函式一定連續？
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