1樓：千山之巔客
用換元積分法，在極座標下進行積分，積分過程很簡單的。不過d區域的情況有兩種，或許會有兩種解答。我只算了一種，結果是1-（2^0.5）/2。用漢語說就是一減二分之根號二。
計算二重積分。 ∫∫根下｛（1-x^2-y^2）/(1+x^2+y^2)｝dσ，d：x＾2+y＾2=1及座標軸所圍成的第一象限區域
2樓：星光下的守望者
化為極座標
原式=∫
[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二類換元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0,1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*（π-2）/8
其中用到了：
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+c
資料請見
過程有點複雜，可能還有更好的方法我沒有找到
計算二重積分i= ∫∫根號下1-x^2-y^2 dxdy 其中d： x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0 (∫∫符號下為d) 要詳解
3樓：午後藍山
這個用極座標
令x=pcosa,y=psina
a∈[0，π/2]
p∈[0,1]代入得
原積分=∫[0，π/2]∫[0,1]√(1-p^2)*pdpda=∫[0，π/2]da∫[0,1]√(1-p^2)*pdp=π/2*(-1/2)∫[0,1]√(1-p^2)d(1-p^2)=π/2*(-1/3)(1-p^2)^(3/2)[0,1]=π/6
計算二重積分∫∫根號(x^2+y^2)dxdy區域d為x^2+y^2=1與x^2+y^2=4圍成的圓環型閉區域
4樓：午後藍山
^令x=pcosa,y=psina
積分區域變成
p∈[1,2],a∈[0，2π]
則二重積分
∫∫√(x^2+y^2)dxdy
=∫[1,2]∫[0，2π] p*pdpda=∫[1,2]p*pdp∫[0，2π] da=p^3/3[1,2]*a[0，2π]
=14π/3
5樓：井底的**
先化成極座標，有公式的，半徑的範圍就變成【1 4】，角度為【0 360】，就很容易算了下面，梯度就是對x y z求偏導的結果，最後把座標點帶入就是對應點的梯度。好好看書，多看幾遍就懂了，沒啥難的實際。
計算x^2*ydxdy的二重積分，其中d是由x^2-y^2=1及y=0,y=1所圍成的平面區域。
6樓：
2/15(4倍根號2-1） 答案倒是這個，不過沒太弄懂，自己算的與答案符號相反。大致步驟是要用y用x表示，積分，x是兩段的（0,1），（1，根號2） 我也是偶然間遇到此題發現樓上答案不對以免誤導
7樓：匿名使用者
∫∫_d x²y dxdy
= _d₁ x²y dxdy + ∫_d₂ x²y dxdy= ∫(0→1) dy ∫(0→-√版(1 + y²)) x²y dx + ∫(0→1) dy ∫(0→√(1 + y²) x²y dx
= ∫(0→1) [y · x³/3 |權(0→-√(1 + y²)) + y · x³/3 |(0→√(1 + y²))] dy
= (1/3)∫(0→1) [- y(1 + y²)^(3/2) + y(1 + y²)^(3/2)] dy= 0
計算二重積分∫∫y^2dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=1所圍成的閉區域
8樓：demon陌
具體回答如圖：
重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
求二重積分∫∫（y√1+x^2-y^2）dt,其中d是由直線y=x，x=-1和y=1所為成的閉區域
9樓：匿名使用者
^本題需要先抄積y，若先積x計算量會很襲
大。∫∫
bai（y√1+x²-y²）dudxdy
=∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（y√1+x²-y²）dy
=(1/2)∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（√1+x²-y²）d(y²)
=(-1/2)∫[-1--->1] (2/3)(1+x²-y²)^zhi(3/2) |[x--->1] dx
=(-1/3)∫[-1--->1] [|x|³-1] dx 注意這裡不能寫x³，因為daox有負值
被積函式是偶函式，由奇偶對稱性
=(-2/3)∫[0--->1] [|x|³-1] dx
=(2/3)∫[0--->1] [1-x³] dx
=(2/3)(x-x⁴/4) |[0--->1]
=(2/3)(1-1/4)
=1/2
計算二重積分Dxsinyydxdy,其中D是由曲線
解 先求曲線交點以確定積分區域的範圍 聯立y x與y x 2,解得交點為 0,0 與 1,1 再觀察被積函式的形式確定二重積分分解的順序，因為siny y的原函式不是初等函式，因此不能先對y積分，考慮先對x積分 在 0,0 與 1,1 之間，沿x軸先出現y x，再出現y x 2，且y 0故有 原式 ...
計算二重積分xydxdy,其中D是由y2x,y
因為 d為y 2x,y x,x 2,x 4所圍成的區域 x ydxdy dx x y dy dx xlny x ln2 dx 8 ln2 計算二重積分 x y dxdy,其中d是由y x,y 2x,x 1,x 2所圍成的區域 x y dxdy 1,2 x,2x x y dydx 1,2 xlny x...
計算二重積分x2y2ydxdy,其中D是由拋物
分布積分，先對y積，0到1 dx 0到x 2 x 2 y 2 ydy得到 0到1 x 6 2 x 8 4 dx,再積分一次，得結果為1 14 1 36 計算 d x 2ydxdy,其中d是由曲線xy 1,y x，x 2圍成的平面區域 可以x型或y型方面計算 將二重積分化為普通定積分計算即可 若是x型...