1樓：匿名使用者
記y=bx=(y1,y2,...,yn)^t，則(y^t)y=(y1)^2+(y2)^2+...+(yn)^2≥0，平方和一定非負。
為什麼說半正定矩陣的行列式大於等於0?
2樓：匿名使用者
因為半正定矩陣的特徵值》=0
半正定矩陣是對稱矩陣 所以可以對角化(定理)a=p*b*p^-1
|a|=|b|>=0即證
3樓：雪劍
給你看一下！！
不知道怎麼樣，有沒有你要的東西？
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯絡，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令a為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱a正定（半正定）矩陣；反之，令a為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱a負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣e 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的 n 個特徵值全是正數。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在u使
即 有這就證明了a正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到a為半正定矩陣的充要條件是：a的特徵值全部非負。
2．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
證明：a正定
二次型 正定
a的正慣性指數為n
3．n階對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣u使 ；進一步有 （b為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣a正定，則存在可逆矩陣u使
令 則令 則反之，∴a正定。
同理可證a為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣a正定
∴ 是正定二次型
現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第i個數為1)代入，有
∴ ∴a正定
∴存在可逆矩陣c ，使
5．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的 n 個順序主子式全大於零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
， 現證 是乙個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即 即a的順序主子式全大於零。
充分性：
對n作數學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。
令 ， ，
∴a可分塊寫成
∵a的順序主子式全大於零
∴ 的順序主子式也全大於零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣q使
令 ∴再令 ，
有 令 ，
就有 兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然 即a合同於e ，
∴a是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的負慣性指數為n。
2．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全小於零。
3．n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的順序主子式 滿足
， 即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。
由於a是負定的當且僅當-a是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的正慣性指數等於它的秩。
2． n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值全大於等於零，但至少有乙個特徵值等於零。
3． n階對稱矩陣a是負定矩陣的充分必要條件是a的各階主子式全大於等於零，但至少有乙個主子式等於零。
注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大於等於零並不能保證a是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ， ， ，
但a並不是半正定的。
關於半負定也有類似的定理，這裡不再寫出。
參考資料
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