1樓：匿名使用者
正定矩陣的性質：設m是n階實係數對稱矩陣， 如果對任何非零向量x=(x_1,...x_n) ，都有 xmx′>0，就稱m正定(positive definite)。
因為a正定，因此，對任何非零向量x=(x_1,...x_n) ,xax′>0.設x′x=k，顯然k>0(x′x每個元素都是平方項)則xaax′=(xax′)(xax′)/k>0那麼a^2是正定矩陣
這個問題怎樣證明矩陣a為正定矩陣,好難啊，辛辛苦苦回答了，給我個滿意答案把
怎麼判斷乙個矩陣是否為正定矩陣？ 5
2樓：匿名使用者
判斷乙個矩陣是否為正定矩陣有兩種方法：
1、求出a的所有特徵值。若a的特徵值均為正數，則a是正定的；若a的特徵值均為負數，則a為負定的。
2、計算a的各階主子式。若a的各階主子式均大於零，則a是正定的；若a的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則a為負定的。
3樓：匿名使用者
正定矩陣的定義是從正定二次型來的
正定二次型的矩陣稱為正定矩陣，
對稱陣a為正定的充分必要條件是：a的特徵值全為正。
所以計算得到矩陣的特徵值，全部為正數就是正定矩陣
4樓：陟彼周行
1 實對稱矩陣a正定的充分必要條件是a可以合同於乙個主對角元全為正數的對角矩陣
2 實對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的特徵值全大於零3 實對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的所有順序主子式的值全大於零4 n階實對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的正慣性指數p= n5實對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於e.
6.存在可逆矩陣c使a=ctc
5樓：鈞姐幸福
看四邊相等，而是都是九十度
6樓：海瘋習習
矩陣不一定是對稱矩陣
7樓：匿名使用者
設實對稱矩陣a，如果對於任意的實非零向量x≠0有x^tax>0,則矩陣a稱為正定
的。正定矩陣的性質與判別方法
1. 對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的n個順序主子式全大於零。
2．對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同於單位矩陣e。
3．對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在n階可逆矩陣u使a=u^tu
4．對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素均為正數。
5． 對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的n個特徵值全是正數。
8樓：柚球球
各階順序主子式都為正數
如何用正定矩陣定義證明改矩陣a為正定矩陣
9樓：匿名使用者
首先寫出二次型表示式。
二次型f(x1,x2,...,xn)=x1²+x2²+...+xn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn
=n·1/nx1²+n·1/nx2²+...+n·1/nxn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn
利用 a²+2ab+b²=(a+b)²
f(x1,x2,...,xn)=(1/nx1²+2/nx1x2+1/nx2²)+(1/nx1²+2/nx1x3+1/nx3²)+...
+(1/nxn-1²+2/nxn-1xn+1/nxn²)=1/n[(x1+x2)²+(x1+x3)²+...+(xn-1+xn)²]
顯然當x=(x1,x2,...,xn)≠0時，f(x1,x2,...,xn)＞0
所以此二次型為正定二次型。
newmanhero 2023年4月27日22:09:11
希望對你有所幫助，望採納。
如何證明a是正定矩陣，ka也是正定矩陣
10樓：匿名使用者
你這個說法僅當k為正數時才成立。用定義就可以證明。由於對於任意非零向量x有xtax>0，k>0，則xt(ka)x=k(xtax)>0，所以ka正定。
設a為正定矩陣，證明伴隨矩陣a*也是正定矩陣
11樓：demon陌
這裡用到a是正定
矩陣的乙個等價條件：a正定等價於a的特徵值λ都》0。
如果a是正定。判斷a的伴隨也就是a*的特徵值是否也都》0。
考慮aa=λa，a*aa=λa*a，|a|a/λ=a*a，這裡可看出a*的特徵值為|a|/λ。因為a正定，所以|a|>0，λ>0，那麼a*的特徵值=|a|/λ >0，因此a*是正定的。
這說明：正定矩陣的伴隨矩陣是正定的。
現在a*是正定的，那麼根據這個結論，可知道(a*)*是正定的。
證明a是正定矩陣，那麼a的逆也是正定矩陣，高手解一下步驟，謝謝 10
12樓：小小芝麻大大夢
首先，證明矩陣a的逆是對稱陣：
因為矩陣a是正定的，所以矩陣a對稱，即a^t=a；
又由於（a⁻¹）^t=（a^t）⁻¹；
所以（a⁻¹）^t=a⁻¹；故矩陣a逆是對稱陣。
然後，證明矩陣a的逆是正定矩陣：
因為矩陣a是正定的則存在x屬於r，且x不等於0，使得x^tax>0；
對於x^ta⁻¹x=x^ta⁻¹aa⁻ ¹x=x^t（a⁻¹）^t aa⁻¹ x=(a⁻¹x)^ta(a⁻¹x)，且a⁻¹x不等於0；
故(a⁻¹x)^ta(a⁻¹x)>0，所以x^t a⁻¹ x>0，則a⁻¹是正定矩陣。
13樓：soda丶小情歌
^^^若a正定，a對稱，at=a
對於a^-1t=at^-1=a^-1
故a逆對稱
存在x列向量使得
xtax>0，
對於xta^-1x=xta^-1aa^-1x=xta^-1t *a*a^-1x=(a^-1x)t a (a^-1x)>0
故a^-1正定。
14樓：匿名使用者
因為a為正定矩陣，所以a特徵值全大於0，所以a逆的特徵值全大於0，所以a逆正定
15樓：電燈劍客
直接用定義證就行了
x≠0 時 x^t a^ x = (a^x)^t a (a^x) > 0
設a,b為正定矩陣,證明a+b為正定矩陣.
16樓：無名尐鬼
矩陣a是正定的 等價於 對於任意非零向量a,都有a'aa>0;
如果a、b都是正定的，那麼對於任意非
零向量a,都有a'aa>0;a'ba>0;
顯然對於任意非零向量a,就有a'(a+b)a>0;
所以a+b也是正定的！
只要你搞清乙個等價關係就行了，最好用反正法證一下。
在實數範圍內：
a為n階的正定矩陣，則a的n個特徵值均為正數 等價於 對於任一n維列向量x，都有x[t]ax>0,x[t]表示a的轉置。
因此有，x[t]ax>0，x[t]bx>0，相加得：x[t](a+b)x>0
即得a+b也為正定矩陣。
在複數範圍內：
a為n階的正定矩陣，則a的n個特徵值均為正數 等價於 對於任一n維列向量x，都有x[h]ax>0,x[h]表示a的共軛轉置（稱為a的hemite矩陣）。
因此有，x[h]ax>0，x[h]bx>0，相加得：x[h](a+b)x>0
即得a+b也為正定矩陣。
17樓：匿名使用者
正定矩陣 是什麼形狀啊!
設A,B為正定矩陣,證明A B為正定矩陣
矩陣a是正定的 等價於 對於任意非零向量a,都有a aa 0 如果a b都是正定的，那麼對於任意非 零向量a,都有a aa 0 a ba 0 顯然對於任意非零向量a,就有a a b a 0 所以a b也是正定的！只要你搞清乙個等價關係就行了，最好用反正法證一下。在實數範圍內 a為n階的正定矩陣，則a...
設A,B為正定矩陣,證明A B為正定矩陣
矩陣a是正定的 等價bai於 對於任意非du零向zhi量a,都有a aa0 如果a b都是正定dao的，那麼對於任版意非零 向量a,都有a aa0 a ba0 顯權然對於任意非零向量a,就有a a b a0 所以a b也是正定的！只要你搞清乙個等價關係就行了，最好用反正法證一下。在實數範圍內 a為n...
設a，b是同階正定矩陣，ab是否為正定矩陣？為什麼
是的,對於任意非零向量x,x a x 0 x b x 0 x a b x 0 a b是正 定矩陣.正定矩陣有以下性質 1 正定矩陣的行列式恒為正 2 實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同 3 若a是正定矩陣，則a的逆矩陣也是正定矩陣 4 兩個正定矩陣的和是正定矩陣 5 正實數與正定矩陣的乘積是正...