1樓：匿名使用者
實對稱陣a正定的充分必要條件是a的特徵值都為正。而a^(-1)的特徵值都是a的特徵值的倒數，所以：a正定<=>a的特徵值為正<=>a^(-1)的特徵值為正<=>a^(-1)正定。
n階實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件為什麼是a逆為正定矩陣，請大家指教，我要過程
2樓：匿名使用者
先來一些必bai要的陳述，說明實對稱矩du陣a的逆矩zhi陣也是實對稱矩陣，dao進而能討論正定版的問題。
[a^(-1)]^t=[a^t]^(-1)=a^(-1)所以a的逆權矩陣也是實對稱陣。
接下來正式開始證明：
可以從特徵值的角度來看。
必要性：
如果n階實對稱矩陣a為正定矩陣，那麼a的正慣性指數為n，即a的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。由於a的特徵值沒有0，所以a可逆，且a的逆的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的逆的特徵值也都大於0，故a的逆也正定。
充分性：（和必要性證法類似）
如果a的逆矩陣為正定矩陣，那麼它的正慣性指數為n，即a的逆的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。a的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的特徵值也都大於0，故a正定。
證明實對稱矩陣a為正定矩陣的充要條件是存在可逆矩陣c使a=c^tc
3樓：匿名使用者
^如果抄a是正定的實對稱矩陣bai。
存在正交矩陣p，有dup^tap=b，且b是乙個對角線上元素均大於零zhi的對角矩陣。dao
取b1^2=b,(b1就是b各對角線上各元素的算術平方根構成的對角矩陣）
記c=b1p，那麼a=c^tc
反過來，a=c^tc，他是實對稱的。且合同與單位矩陣，故他是正定的。
4樓：shirely小雪
如果a是正定的實對稱矩陣.
存在正交矩陣p,有p^tap=b,且b是乙個對角線上元素均大於零的專對角矩陣屬.
取b1^2=b,(b1就是b各對角線上各元素的算術平方根構成的對角矩陣）
記c=b1p,那麼a=c^tc
反過來,a=c^tc,他是實對稱的.且合同與單位矩陣,故他是正定的.
設a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
5樓：匿名使用者
證: a是n階實對稱矩陣, 則存在正交矩陣p, p'=p^-1滿足: p'ap = diag(a1,a2,...
,an). 其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值
則a對應的二次型為:
f = x'ax
令 x=py 得
f = y'p' apy = y'diag(a1,a2,...,an)y = a1y1^2+...+any^n
所以 a正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
6樓：點爺
不好意思啊，我才高中畢業。
n階實對稱矩陣a正定的充要條件是（ ）。
7樓：匿名使用者
應該選d
證明：必要性：
如果n階實對
稱矩陣a為正定矩陣，那麼a的正慣性指數為n，即a的所專有特屬徵值x1,x2,...,xn都大於0。由於a的特徵值沒有0，所以a可逆，且a的逆的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的逆的特徵值也都大於0，故a的逆也正定。
充分性：
如果a的逆矩陣為正定矩陣，那麼它的正慣性指數為n，即a的逆的所有特徵值x1,x2,...,xn都大於0。a的特徵值為1/x1,1/x2,...
,1/xn。顯然a的特徵值也都大於0，故a正定。
a是n階實對稱矩陣,證明a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0
8樓：皇怡時宵
^^證:
a是n階實對稱矩陣,
則存在正交矩陣p,
p'=p^-1
滿足:p'ap
=diag(a1,a2,...,an).
其中a1,a2,...,an是a的全部特徵值回則a對應的二次
答型為:f=
x'ax
令x=py得f
=y'p'
apy=
y'diag(a1,a2,...,an)y=a1y1^2+...+any^n
所以a正定
<=>f正定
<=>ai>0.
即a是正定矩陣的充分必要條件是a的特徵值都大於0.
滿意請採納^_^
實對稱矩陣為正定矩陣的充要條件為什麼是與單位矩陣合同
9樓：小雨手機使用者
充分性直接按正定的定義驗證，必要性可以用gauss消去法構造出cholesky分解a=ll^t。
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
10樓：匿名使用者
實對稱陣a是正定陣
則a的特徵值都是正的
而實對稱陣是正交相似於對角陣diag(a1,..,an)即有正交陣p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p=p'diag(√a1,√a2,...
,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)p
記q=diag(√a1,√a2,...,√an)p，則a=q'q，即a與單位陣合同
反之若a與單位陣合同，即存在可逆陣s，使得設a=s's。則對任意非零向量x，有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0
∴a是正定的
設A是n階正定矩陣，Ab是n階實對稱矩陣，證明AB正定的充要
a正定，則存在可逆陣c，使得a c tc。於是有公式 ab c tcb c t cbc 1 c。充分性 若b的特徵值都大於0，則cbc 1 的特徵值與b的特徵值一樣都大於0，於是ab合同於cbc 1 特徵值都大於0，ab正定。反之，ab正定，則由於ab與cbc 1 合同，故cbc 1 是正定陣，其特...
設A為n階實反對稱矩陣，證明 （1）detA 0（2）如果
網路的生活，豐富多彩，寂寞的人兒喜歡 好處 提供便利的資訊渠道，搭建網上便捷的溝通橋梁 網上辦事 存錢啊 買東西啊 玩網遊 還有交友等等 還有大多數工作方面也與網路緊緊密切聯絡著的。壞處 首先第一，豐富的資訊讓現實社會殘酷競爭以及生活的平淡乏味的人有對網路有很強的依賴感，以至於造成青少年因上網成癮而...
設a，b是同階正定矩陣，ab是否為正定矩陣？為什麼
是的,對於任意非零向量x,x a x 0 x b x 0 x a b x 0 a b是正 定矩陣.正定矩陣有以下性質 1 正定矩陣的行列式恒為正 2 實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同 3 若a是正定矩陣，則a的逆矩陣也是正定矩陣 4 兩個正定矩陣的和是正定矩陣 5 正實數與正定矩陣的乘積是正...