1樓：匿名使用者
特徵向量是無窮多個的。問題不是這些特徵向量是否無關。而是r重特徵值，能否找到r個無關的特徵向量。
具體找的方法，就是解（λe-a）x=0。
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
2樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
3樓：匿名使用者
你好！提問不是很清楚，例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨乙個特徵向量也是線性無關的。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
4樓：週三心盼
若a1,...,as 是a的屬於同乙個特徵值的特徵向量則其非零線性組合 k1a1+...+ksas 也是a的屬於此特徵值的特徵向量
某個特徵值的全部特徵向量是對應齊次線性方程組的基礎解系的非零線性組合所以一般線性相關
1.矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎 2.相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
5樓：小樂笑了
1、矩陣不同
的特徵值對應的特徵向量一定線性無關
證明如下：
假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y=mx，因此，得到ax=kx【1】
ay=hy=hmx
即amx=hmx【2】
而根據【1】有
amx=kmx【3】
【2】-【3】，得到
0=(h-k)mx
由於特徵向量x非零向量，而h,k兩個特徵值不相同，即h-k不為0則m=0，則y=mx=0，這與特徵向量非零向量，矛盾！
因此假設不成立，從而結論得證
2、相同特徵值對應的特徵向量不一定線性無關因為，某個特徵值的乙個特徵向量的非零倍數，也是該特徵值的特徵向量但兩個特徵向量，因為是倍數關係，因此是線性相關的。
又例如，如果乙個特徵值，相應特徵方程解出來，基礎解系中有多個解向量，這些解向量是線性無關的，且都是此特徵值的特徵向量。
6樓：你好丶吊
特徵值不同 是 特徵向量線性無關的 充分不必要條件。
1.充分條件很容易理解。
2.必要條件的理解。
由對稱矩陣的性質可得：k重特徵值必有k個線性無關的特徵向量。
也就是說：對於對稱矩陣，無論有沒有相同的特徵值，它的特徵向量都是線性無關的。所以由後邊不能推到前邊。
7樓：2048人
1. 是
2. 可能會
屬於同乙個特徵值的特徵向量是線性相關的還是線性無關的?
8樓：小樂笑了
屬於同乙個特徵值的特徵向
量，如果此特徵值相應的特徵矩陣的秩是n-1時，此時只有1個線性無關的特徵向量
從而此時屬於該特徵值的特徵向量，是線性相關的。
其餘情況，屬於同乙個特徵值的特徵向量可能線性相關，也可能線性無關
為什麼乙個特徵值不能對應兩個線性無關的特徵向量？
9樓：匿名使用者
請你找一本線性代數課本（數學專業用），其中有乙個定理：對於矩陣a的特徵值λ
。代數重數≥幾何重數。
（代數重數是特徵值λ作為特徵方程的根的重數。
幾何重數是特徵值λ所對應的特徵子空間的維數。即λ對應的線性無關的特徵向量的個數。）
這個定理的證明不太麻煩。但是這裡還是寫不出。
順便說一句，a相似於對角陣的充要條件正是：
對於a的每個特徵值，總有：代數重數＝幾何重數。
對稱矩陣必相似於對角陣，總有：代數重數＝幾何重數
屬於同一特徵值的特徵向量也線性無關麼
10樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特
徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
11樓：憑樂令利
書本上之所以只談論不同特徵值的特徵向量線形無關是因為：對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題，基礎解系最重要特點就是線性無關，編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
12樓：匿名使用者
不能這麼說。。屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同乙個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。
你要去解它的基礎解系到底有幾個線性無關的向量。不知道這麼說樓主能不能明白。
13樓：匿名使用者
屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同乙個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。你要去解它的基礎解系到底有幾個線性無關的向量。
例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨乙個特徵向量也是線性無關的。
特徵向量的基本資訊：
數學上，線性變換的特徵向量(本徵向量)是乙個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。乙個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。"特徵"一詞來自德語的eigen。2023年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。
eigen一詞可翻譯為"自身的"、"特定於……的"、"有特徵的"、或者"個體的"。這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換有多重要。
中文名稱
特徵向量
外文名稱
eigenvector
線性無關的基本資訊：
請教如何理解不同特徵值對應的特徵向量線性無關？？？？
14樓：匿名使用者
對應於不同特徵值的特徵向量之間是線性無關的。問：在對角化裡的p不是線性無關的嗎？
答：是的，n階矩陣a能對角化的充要條件就是a有n個線性無關的特徵向量，p就是這些特徵向量構成的可逆矩陣。問：
而特徵值卻有可能的是相同的答：特徵值相同就是指特徵值的重數。例如矩陣a有3個特徵值1,3,3, 如果對應於特徵值3有2個線性無關的特徵向量，即矩陣多項式|3e—a|=0有2個線性無關的解，即 r(3e—a)=1,則矩陣a可以相似對角化。
另外，如果a是對稱矩陣，則對應於a的不同特徵值的特徵向量不僅線性無關，更是正交的。建議：多看看教材，我用的是同濟的線代書，講義用的是李永樂的。
不要意思，獻醜了，不知你滿不滿意，呵呵！
15樓：世潔漢黛
用數學歸納法
只有乙個特徵值時，因特徵向量非0，所以無關。
設k-1個不同的特徵值對應的特徵向量無關
則k個時，作線性組合為0向量，此式記為1
兩邊左乘a即和特徵值聯絡，此式記為2
1式兩邊乘第k個特徵值，此式記為3
3-2即消去第k個特徵向量，由歸納假設，k-1個特徵向量無關，即得1式中的組合係數都為0得證。
乙個n階方陣的不同特徵值對應的特徵向量線性無關，錯的，如何證明？
16樓：曉曉休閒
在向量空間v的一組向量a：a1，a2，...am，如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使
則稱向量組a是線性相關的，否則數 k1, k2, ···,km全為0時，稱它是線性無關。由此定義看出a：a1，a2，...
am是否線性相關，就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看
這個齊次線性方程組是否存在非零解，將其係數矩陣化為最簡形矩陣，即可求解。此外，當這個齊次線性方程組的係數矩陣是乙個方陣時，這個係數矩陣存在行列式為0，即有非零解，從而a：a1，a2，...
am線性相關。
矩陣屬不同特徵值的特徵向量線性無關。
17樓：匿名使用者
你好！屬於同一特徵值的特徵向量並不一定是線性相關的。寫出的基礎解系只是一小部分特徵向量，它們的非零線性組合都是特徵向量。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
18樓：迷失脦
是的，如果是同乙個特徵值下的不同特徵向量也是線性無關的。但是順便說一句，實對稱矩陣不同特徵值下的特徵向量一定是相互正交的，而同一特徵值下的特徵向量不一定是相互正交的。
19樓：
設ai是λi的特徵向量（i=1，2，...，m），且i不等於j時，λi不等於λj
設他們的乙個線性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用a左乘得： a（k1a1+k2a2+..._+kmam）=0
因為aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘a，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11. ..1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 為方陣b
x=（k1a1，k2a2，...，kmam）
bx=0
|b|為范德蒙德行列式，顯然不為零，可逆
所以x=(k1a1，k2a2，...，kmam)= o
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因為ai不等於0，故ki=0（i=1,2,..,m），故線性無關。
不同特徵值對應的特徵向量組成的向量組線性無關怎麼證明
看看這個證明 有疑問請追問或訊息我 求解特徵值與特徵向量的步驟為 1 應先由 e a 0求得特徵值 2 由方程 e a x 0 求得特徵向量 3 由性質 屬不同特徵值的特徵向量一定線性無關。看看這個證明 有疑問請追問或訊息我 多重特徵值 對應的特徵向量組成的向量組線性無關 怎麼證明 th4.4是說屬...
線性代數中求相同特徵值對應不同的特徵向量的求法，是不是不一定
你好！首先，r s n r a r s 是基礎解系的秩，n是未知數的個數，r a 是化為最簡型增廣矩陣的秩，於是你截圖的那個方程的基礎解系的向量個數r s 3 1 2，所以有兩個基礎解系，的是其中一種，你寫的又是一種，只要這兩個向量線性無關，都可以作為基礎解系的一組解，於是特徵向量的通解或者說全體解...
求線性代數解答？矩陣的特徵值和特徵向量
因為2階方陣a有2個互異特徵值，所以a與對角矩陣相似。可逆矩陣p為 1，2 對角矩陣為diag 1，2 線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點，在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量，就要先弄清楚定義 設 a 是 n 階矩陣，如果存在乙個...