1樓：匿名使用者
這要看題目涉及的內容
對a的特徵值λ, 在求a的屬於特徵值λ的特徵向量時, 齊次線性方程組 (a-λe)x=0 的基礎解系
即構成a的屬於特徵值λ的線性無關的特徵向量.
屬於特徵值λ的所有的特徵向量可以表示為 (a-λe)x=0 的基礎解系的 非零線性組合.
對齊次線性方程組 ax=0, 其基礎解系所含解向量的個數 等於 n-r(a), 其中n是未知量的個數(或a的列數)
為什麼在求特徵向量裡重根對應的特徵向量卻不一定線性無關？
2樓：杰哥的
**性方程組
bai裡基礎解系線性無du關，在特徵
zhi向量裡重根對應的特dao徵向量卻不一定線性回無答關。
一般情況下求特徵值對應的特徵向量都是求對應的線性方程組的線性無關的解（即基礎解系），求基礎解系的時候是把自由變數取了一組線性無關的值得出來的，但如果取的不是線性無關的，那麼對應的特徵向量（方程組的解）也就不一定是線性無關的了。
擴充套件資料
線性方程組有以下兩種解法：
1、克萊姆法則：用克萊姆法則求解方程組有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是係數矩陣的行列式要不等於零。
用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其係數和常數間的關係，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。
2、矩陣消元法：將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。
3樓：紀密立
其實17年的那來個回答已經說得源
很不錯了，bai這裡加上我自du己的理解方式：
1、大家都知道
zhi」重dao根所對應的特徵向量的形式是由基礎解系所組成的，例如k*a +m*b(k,m不同時等於0)這種形式「。。。。。所以這也就意味著「重根的數量與其所對應的線性無關的解向量的個數這兩者之間是直接影響著特徵向量的相關性」。如下分析：
2、當重根的個數等於其線性無關的解向量的個數時，那麼特徵向量就無關，因為這時候對於每乙個重根而言都可以分別取乙個線性無關的解向量，故自然也就線性無關。。。。。而當兩者個數不等時（此時一定有重根個數大於解向量的個數），重根中的某個根所對應的特徵向量必然是線性無關的解向量的組合形式，所以自然就線性相關。
4樓：實實多才
你的問題我也研究過，你的誤區在於你沒把特徵向量搞懂，重根的特徵向量求回解是與方程組相同的，答但重根的基礎解系向量個數是不定的...也就是說若重根對應的基礎解系向量個數為2，那麼向量之間就線性無關，特徵向量就線性無關，但重根對應的基礎解系向量個數為1，那麼特徵向量就線性相關
5樓：匿名使用者
**性方程組里基抄礎解系線性無bai關，
特徵向量du裡重根對應的特徵向量卻不zhi一定線dao性無關，一般情況下我們求特徵值對應的特徵向量都是求對應的線性方程組的線性無關的解（即基礎解系），我們求基礎解系的時候是把自由變數取了一組線性無關的值得出來的，但如果你取的不是線性無關的，那麼對應的特徵向量（方程組的解）也就不一定是線性無關的了。
何為特徵向量？我們在求特徵向量時是先求基礎解系的，那麼那個基礎解系按理說一定線性無關，特徵向量也一定是線性無關的，你說的是不可能的。因為求出來的基礎解系就是線性無關的特徵向量啊。
屬於同一特徵值的特徵向量也線性無關麼
6樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特
徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
7樓：憑樂令利
書本上之所以只談論不同特徵值的特徵向量線形無關是因為：對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題，基礎解系最重要特點就是線性無關，編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
8樓：匿名使用者
不能這麼說。。屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同乙個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。
你要去解它的基礎解系到底有幾個線性無關的向量。不知道這麼說樓主能不能明白。
9樓：匿名使用者
屬於不同特徵值的向量分別有無數個，但你隨便分別挑兩個都是線性無關的。而屬於同乙個特徵值的向量同樣有無數個，並不是每兩個都線性無關。你要去解它的基礎解系到底有幾個線性無關的向量。
例如二階單位陣e的特徵值1有無窮多個特徵向量，其中任意三個以上的特徵向量都是線性相關的；但是，特徵向量(1,0)^t與(0,1)^t是線性無關的，而任何單獨乙個特徵向量也是線性無關的。
特徵向量的基本資訊：
數學上，線性變換的特徵向量(本徵向量)是乙個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。乙個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。
特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。"特徵"一詞來自德語的eigen。2023年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。
eigen一詞可翻譯為"自身的"、"特定於……的"、"有特徵的"、或者"個體的"。這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換有多重要。
中文名稱
特徵向量
外文名稱
eigenvector
線性無關的基本資訊：
同一特徵值所指的特徵向量是否線性無關？
10樓：匿名使用者
對的。特徵向量是什麼？是滿足 (λⅰ-a)x=0 的非零解當λ給定時， λⅰ-a 是乙個內給定矩陣，不妨記為b，即求容 bx=0 的非零解，那就回歸到求方程組的基礎解系。
若求得是bx=0 的乙個基礎解系，則對應於λ的特徵向量為k1η1+k2η2+...+kmηm， 其中k1，k2，...，km是k中任意不全為零的數
11樓：歐晴五笑寒
書本上之所以只來談論不同特徵
自值的特徵向量線形無關是因為：對於同一特徵值對應不同特徵向量的求法實質為求方程組基礎解系的問題，基礎解系最重要特點就是線性無關，編書人覺得這個是很自然的情況也就沒有單獨列出來
檢視原帖》
屬於同乙個特徵值的特徵向量是線性相關的還是線性無關的?
12樓：小樂笑了
屬於同乙個特徵值的特徵向
量，如果此特徵值相應的特徵矩陣的秩是n-1時，此時只有1個線性無關的特徵向量
從而此時屬於該特徵值的特徵向量，是線性相關的。
其餘情況，屬於同乙個特徵值的特徵向量可能線性相關，也可能線性無關
矩陣的秩與線性無關特徵向量的個數的關係是什麼?謝謝！
13樓：一生乙個乖雨飛
a的屬於特徵值λ的線性無關的特徵向量的個數是 齊次線性方程組 (a-λe)x=0 的基礎解系所含向量的個數 ,即 n-r(a-λe),r(a) 的取值,只能決定0是否特徵值。
擴充套件資料：
矩陣的秩變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
(3)r(ka)=r(a),k不等於0
(4)r(a)=0 <=> a=0
(5)r(a+b)<=r(a)+r(b)
(6)r(ab)<=min(r(a),r(b))
(7)r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以,r(ab)+n=r(第乙個矩陣)=r(最後乙個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
(8)p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)
14樓：手機使用者
n個線性無關特徵向量是相似於對角陣的充分必要條件，與秩沒有必然關係，圖中即是例子。經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
矩陣屬不同特徵值的特徵向量線性無關。
15樓：匿名使用者
你好！屬於同一特徵值的特徵向量並不一定是線性相關的。寫出的基礎解系只是一小部分特徵向量，它們的非零線性組合都是特徵向量。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
16樓：迷失脦
是的，如果是同乙個特徵值下的不同特徵向量也是線性無關的。但是順便說一句，實對稱矩陣不同特徵值下的特徵向量一定是相互正交的，而同一特徵值下的特徵向量不一定是相互正交的。
17樓：
設ai是λi的特徵向量（i=1，2，...，m），且i不等於j時，λi不等於λj
設他們的乙個線性表示 k1a1+k2a2+..._+kmam=0
用a左乘得： a（k1a1+k2a2+..._+kmam）=0
因為aai=λiai，得：λ1k1a1+λ2k2a2+...+λmkmam=0
再乘a，多次乘。
λ1^2k1a1+λ2^2k2a2+...+λm^2kmam=0
....
λ1^(m-1)k1a1+λ2^(m-1)k2a2+...+λm^(m-1)kmam=0
故記11. ..1
λ1λ2...λm
...λ1^(m-1)λ2^(m-1)...λm^(m-1) 為方陣b
x=（k1a1，k2a2，...，kmam）
bx=0
|b|為范德蒙德行列式，顯然不為零，可逆
所以x=(k1a1，k2a2，...，kmam)= o
故kiai=0（i=1,2,..,m）
因為ai不等於0，故ki=0（i=1,2,..,m），故線性無關。
同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎
18樓：是你找到了我
同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關；不同特徵值對應的特徵向量線性無關。
求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：
1、計算的特徵多項式；
2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；
3、對於的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系，則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。
需要注意的是：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定；反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
同特徵值對應的特徵向量線性無關嗎？如果不一定，怎麼來區分他是線性無關還是線性相關呢
特徵向量是無窮多個的。問題不是這些特徵向量是否無關。而是r重特徵值，能否找到r個無關的特徵向量。具體找的方法，就是解 e a x 0。同一特徵值對應的特徵向量線性無關嗎 同一特徵值對應的特徵向量不一定線性無關 不同特徵值對應的特徵向量線性無關。求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下 1 計算的特徵多...
線性代數中特徵值與特徵向量的問題，如圖！求解，謝謝
a e a e 6 e 本題是證明，還是求b值 線性代數中怎樣求特徵值和特徵向量？特徵值與特徵向量是線性代數的核心也是難點，在機器學習演算法中應用十分廣泛。要求線性代數中的特徵值和特徵向量，就要先弄清楚定義 設 a 是 n 階矩陣，如果存在乙個數 及非零的 n 維列向量 使得a a 成立，則稱 是矩...
判斷正誤1 若向量組i線性無關，則與向量組i等價的向量組
第乙個命題錯誤，考慮非0向量 a,向量組和向量組顯然等價,但是前者線性無關,後者不 回是 第二個命題也是答錯誤的，應該是至少存在乙個向量可以由其他向量線性表出，還是考慮上面的例子，第二個向量組中的a不能用0向量表示 兩個等價的向量組，一組線性無關，則另一組也線性無關 對還是錯？為什麼？錯對兩個等價的...