1樓：匿名使用者
不是。例如：分段函式：
f(x)=x² x為有理數
= -x² x為無理數
函式僅在x=0處連續，且可導。其他點不連續，當然就不可導了。
2樓：姒玉枝希卿
這個問題我跟我得研友爭論了一上午，是因為洛必達法則的問題，如果只給出了x0處可導，則不可以用洛法則，應該用定義或者泰勒公式。但我的研友提出了乙個問題，他認為只要某點可導，在某點鄰域內f(x)也可導，可以直接用洛法則…反正我希望各位能給個反例
函式在某一點可導，則函式在這點肯定連續，但是在這點的鄰域連續嗎？？高手來回答，如果不是請舉反例
3樓：o客
不是。首先，函式在點
x0處可導，則函式在點x0處連續。進而存在乙個x0的鄰域，函式在這個鄰域內連續。注意「存在」二字。
其次，可以認為鄰域是乙個微觀的概念。鄰域的半徑是不確定的，一般認為很小很小（甚至可以認為比任意的具體的正實數都要小，但是乙個正數），只是乙個定性的描述。通俗地，可以想象，可以保證在乙個半徑很小很小的鄰域連續，能保證在半徑稍大一點的鄰域連續嗎？
顯然不一定。
最後，舉反例。對於函式y=1/x,在x=1/200處是可導的，在鄰域（1/200-1/200,1/200+1/200)是連續的，但是在鄰域（1/200-1/100,1/200+1/100)是不連續的。前者半徑1/200,後者半徑1/100.
請問乙個函式在一點的鄰域內可導，在這一點是否可導？為啥？
4樓：寧哥
函式在哪一點可導，函式就在那一點連續。函式在一點連續，隱含在這點的鄰近有定義。非數學專業大學生只學一點微積分基礎，要從學過的理論出發，不要亂假設。
比如「高等微積分（《數學分析》）的第一章，講實數的完備性。即全體實數與數軸上的點成功一一對應。儘管有理數具有稠密性，即任意兩個實數之間必定至少有乙個有理數，但是全體有理數是乙個可列集。
其「測度」為0，實軸上幾乎全是無理數。」
打字不易，如滿意，望採納。
函式在一點可導不能說明在該鄰域連續，那麼導函式在一點可導，能否說該函式在該鄰域連續呢?
5樓：風痕雲跡
能。 函式在一點可導，則必在該點處連續。
"導函式在一點可導" 的前提是導函式必在那點的某一鄰域存在，於是函式在此鄰域中連續。
已知函式在某點的某去心鄰域內可導，在該點某鄰域內連續，求證該函式的導函式在該點某鄰域內連續
6樓：
已知f(x)在
bai(a-t,a+t)連續, 在(a-t,a)∪(a,a+t)可導, 求證f'(x)在a的某du鄰域內連zhi續?
這個結論是不成立dao的, 在此條件下內, f'(x)甚至未必在容a有定義, 例如f(x) = |x|, a = 0.
即便將條件加強為f(x)在(a-t,a+t)可導, 仍然有反例: f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
可以證明f(x)處處可導, f'(0) = 0, 但對x ≠ 0, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x).
可知0是f'(x)的第二類間斷點.
即便進一步將結論減弱為f'(x)在a的某去心鄰域內連續也是不成立的.
從上面的構造出發, 用函式項級數可以構造f(x) = ∑ f(x-1/n)/2^n,
其中f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0.
f(x)同樣處處可導, 但f'(x)在1, 1/2, 1/3, 1/4,...處都不連續.
因此f'(x)不在0的任意去心鄰域內連續.
函式在謀點可導能推出在該點領域內可導嗎
7樓：金色潛鳥
函式在某點可導bai 就是指 函式在du
這個點處zhi連續，並且左導數和右導dao數存在 且相等.
但不回能推
出在該點鄰域可導答。-- 可以用 反證法： 假如 某點可導，則它的鄰域點可導，若按此理，鄰域點的鄰域點也可導，那麼鄰域的鄰域的鄰域點也可導，...
那麼整個函式所有點都可導了。顯然是不對的。
在某點導函式連續，能推出原函式在該點領域內可導嗎？
8樓：匿名使用者
看copy
了你寫的一大堆，我 「 已經崩潰」，確實看不懂，不懂你要表達的是啥意思？
函式在某點左右連續，函式在某點去心鄰域內連續有什麼區別？如果換成可導呢？ 100
9樓：匿名使用者
因為函式在某點連續，則函式在這點的極限存在（指左極限，右極限都存在且相等），因此函式在這點的某個去心鄰域內有定義。函式在某點連續，函式在這點當然有定義。（把心補上了）這樣在這個鄰域每一點有定義。
函式在某點連續的充要條件，還有在某點可導的充要條件，說詳細點
判斷函式f x 在x0點處連續,當且僅當f x 滿足以下三個充要條件 1 f x 在x0及其左右近旁有定義。2 f x 在x0的極限存在。3 f x 在x0的極限值與函式值f x0 相等。函式在某一點可導的充要條件為 若極限 h 0 lim f x0 h f x0 h 存在,則函式f x 在x0處可...
函式在某點有定義是函式在該點可導的什麼條件
函式在某點有定義是函式在該點可導的充要條件 充分而且必要 求個採納，謝謝你了哦 d 極限不需要有定義 很高興回答樓主的問題 如有錯誤請見諒 連續不一定可導，可導一定連續。函式可導的條件是什麼？1 函式在該點的去心鄰域內有定義。2 函式在該點處的左 右導數都存在。3 左導數 右導數 注 這與函式在某點...
函式在某點領域內可導與在該點可導有什麼區別
函式在點x0的某個領域 非去心鄰域 內可導是函式在點x0解析的定義 定義 如果乙個函式f x 在點x0處可導,且在x0點的某個鄰域內均可導,則稱函式f x 在點x0解析.注意 函式f x 在某一點處解析與在該點處可導是不等價的.函式在某點解析意味著函式在該點及其某個鄰域內處處可導 而函式在某點可導,...