1樓：匿名使用者
首先這裡的矩陣需要是實矩陣, 否則有反例.
例如取二階復矩陣a = [1,-i;i,1], 則s可以為[1,1;-i,-i], 易見s不可逆.
用b'表示b的轉置, 對於實矩陣可以證明如下.
設a是n階矩陣, 可知nul a的維數為n-r(a), 故n是n×(n-r(a))矩陣.
又可知row a的維數為r(a), 故r是r(a)×n矩陣.
因此s = [r',n]是n階方陣.
由n的選取, 有an = 0, 進而有rn = 0.
可算得s's具有分塊形式[rr',rn;n'r',n'n] = [rr',rn;(rn)',n'n] = [rr',0;0,n'n].
於是r(s) = r(s's) = r(rr')+r(n'n) = r(r)+r(n) (對實任意矩陣b, 有r(bb') = r(b'b) = r(b) (*)).
由r(n) = n-r(a), r(r) = r(a)即得r(s) = n, 故s為滿秩n階方陣, 即n階可逆矩陣.
注1: 如果學了內積空間, 可以比較簡單的理解這個結果.
an = 0表明a'的列向量與n的列向量彼此正交, 即row a的轉置與nul a是互相正交的兩個子空間.
又二者維數互補, 故它們各自的一組基可以拼成全空間的一組基.
於是s的列向量是全空間的一組基, s滿秩即可逆.
注2: 關於結論(*), 這是乙個常見題目, 可通過bx = 0與b'bx = 0同解來證明.
其中實矩陣的條件不能去掉, 這直接導致本題也需要實矩陣的條件.
2樓：匿名使用者
知識點: ax=0 的解與a的行向量正交
這樣,問題轉化為:
r^t , n 的列向量組都是線性無關組 且 兩個向量組的向量正交則 (r^t,n) 的列向量組線性無關
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不用可逆基本很難證明，因為矩陣順序不可交換 如何證明，n階方陣若有ab e則必有ba e，長方陣是不成立的。已知ab e，設ba c，兩邊同時點乘矩陣b，得bab cb，因ab e，則be cb，即b cb，c e，得ba e a b 1 b a 1 逆陣左乘右乘相等為e 矩陣可逆其行列式不為0.所...