1樓：
設某一點函式值不是0.則由函式連續，存在區間內這個點的鄰域，鄰域內函式值不為零（就是大於0），拆區間為三部分，鄰域部分積分恆大於0，另兩個區間積分非負，所以得正
設f(x)在[0.1]連續,證明∫(0→1)[f(x)^2]dx≥[∫(0→1)f(x)dx]^2 50
2樓：寂寞的楓葉
解：設∫(0,1)f(x)dx=m，那麼(f(x)-m)^2≥0，
因此∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，
又(f(x)-m)^2=(f(x))^2-2m*f(x)+m^2，那麼
∫(0,1)(f(x)-m)^2dx=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)(2m*f(x))dx+∫(0,1)m^2dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-2m∫(0,1)f(x)dx+m^2
=∫(0,1)f(x))^2dx-2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2
又∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，所以，∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2≥0，
即∫(0,1)f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2
3樓：匿名使用者
要證明的積分上限應該是1.證明思路：先交換積分順序,然後交換變數的符號,
相加除以2即可.
原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 這是交換積分順序
=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 這是對上乙個積分中的x,y變數互換符號而已
=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy上面個兩個積分相加除以2,注意內層積分恰好是從0到x和從x到1=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy=0.
5a^2.
設f(x)在[a，b]上連續，證明 (∫abf(x)dx)2≤(b-a)∫abf2(x)dx
大一高等數學 設f(x)在[a,b]上連續,證明:∫baf(x)dx=∫baf(a+b-x)dx
4樓：匿名使用者
令a+b-x=u,則x=a時u=b，x=b時u=a，dx=-du（這個過程中a，b均為引數）
則原積分化為—∫ab f(u)du=∫ba f(u)du,得證
這類題目都是對積分變數進行適當變換即可證明
設函式f(x)在區間[a,b]上連續,證明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx
5樓：發了瘋的大榴蓮
證明：做變數替換a+b-x=t,則dx=-dt,當x=b,t=a,當x=a,t=b
於是∫(a,b)f(a+b-x)dx
=-∫(b,a)f(t)dt
= ∫(a,b)f(t)dt
=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
6樓：匿名使用者
^因為積分區域d關於直線y=x對稱，所以二重積分滿足輪換對稱性，即∫∫(d) e^[f(x)-f(y)]dxdy=∫∫(d) e^[f(y)-f(x)]dxdy
=(1/2)*
=(1/2)*∫∫(d) dxdy
>=(1/2)*∫∫(d) 2*√dxdy=∫∫(d) dxdy
=(b-a)^2
設f（u）在[a，b]上連續，證明∫（a，b）dx∫（a，x）（x－y）f（y）dy＝
7樓：exo不偷井蓋
證明：做變數替換baia+b-x=t,則dx=-dt,當x=b,t=a,當x=a,t=b 於是 ∫du(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx 即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx 命題得證。 【注：
緊跟zhi積分符號後面的為積分區間dao】
設f(x)在[a,b]上連續，且f(x)＞0,證明：至少存在一點ξ∈(a,b),使得∫f(x)dx=
8樓：援手
令g(x)=∫f(t)dt*∫f(t)dt（第乙個積分限a到x，第二個積分限x到b），根據變上限積分的求導法則，g'(x)=f(x)∫f(t)dt（積分限x到b）-f(x)∫f(t)dt（積分限a到x），由於g(a)=g(b)=[∫f(t)dt]^2（積分限a到b），根據羅爾定理，存在ξ∈(a,b)使得g'(ξ)=0，即f(ξ)∫f(t)dt（積分限ξ到b）-f(ξ)∫f(t)dt（積分限a到ξ），由於f(ξ)>0，上式兩邊除f(ξ)即得要證的等式。
這種題關鍵就在於構造輔助函式，一般將要證的式子變形，其中有ξ的地方換成x，為了用羅爾定理，就要讓輔助函式在區間端點的函式值相等，且想辦法讓輔助函式的導函式等於0時的表示式和要證的等式盡可能相似。
設fx在上具有連續導數,且f00證明
利用定積分的柯西 許瓦茨不等式 可得 f 1 小於等於右邊的定積分 不等式恆成立 則，f x 的最大值小於等於右邊的定積分過程如下 對任意的x，f 0 f x f x 0 x f 1 f x f x 1 x 兩式相加得 2f x 2x 1 f x 即f x x 1 2 f x 且0 x 1 l f ...
fx在上連續，且fx0證明在a,b
乙個零點的證明可考慮用介值定理 單調性 1.證明至少乙個零點 令f x f t dt 1 f t dt，a x b f x 在 a,b 連續，且f x 0，f x 在 a,b 可導 當然也是連續的 而f a 1 f t dt 0，f b f x dx 0 由連續函式介值定理可知，至少存在一點 a,b...
設fx在區間上連續，證明bafxdx
證明 做變數替換a b x t,則dx dt,當x b,t a,當x a,t b 於是 a,b f a b x dx b,a f t dt a,b f t dt a,b f x dx 即 a,b f x dx a,b f a b x dx 命題得證。注 緊跟積分符號後面的為積分區間 設fx在區間 a...