1樓：豌豆凹凸秀
因為lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其為a
則根據極限定義，對ε=1，存在正數d>0，使對任意x>d，有|f(x)-a|<1
即a-1若da，有a-1若d>=a，因為f(x)在[a,d]上連續，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
綜上所述，f(x)在[a,+∞)上有界
若存在兩個常數m和m，使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界，其中m是它的下界，m是它的上界。
關於函式的有界性．應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別乙個函式是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。
但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
若f(x)在[a,+∞)上連續,且limx→+∞f(x)存在,證明f(x)在[a,+∞)上有界
2樓：drar_迪麗熱巴
因為lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其為a
則根據極限定義，對ε=1，存在正數d>0，使對任意x>d，有|f(x)-a|<1
即a-1若da，有a-1若d>=a，因為f(x)在[a,d]上連續，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
綜上所述，f(x)在[a,+∞)上有界
若存在兩個常數m和m，使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界，其中m是它的下界，m是它的上界。
關於函式的有界性．應注意以下兩點：
(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；
(2)從幾何學的角度很容易判別乙個函式是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那麼函式一定是無界的。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。
但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
3樓：普海的故事
設limf﹙x﹚＝a ﹙x趨於無窮大﹚
∴任意ε 存在x＞a 當x＞x時 ｜f﹙x﹚－a｜＜ε/4 ∴對任意x₁、x₂∈﹙x,﹢∞﹚ 有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－a｜＋｜f﹙x₂﹚－a｜＜ε/2
由康託定理 f﹙x﹚在[a,x]一致連續 因而存在δ＜x－a 使｜x₁－x₂｜＜δ,x₁,x₂∈[a,x]時 ｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2
從而對任意x₁,x₂∈[a,﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ 就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε
∴其一致連續
證明 設函式f x 在區間上連續，有lim xf x 存在且有限。證明 f x 在上有界
設lim x duf x a,則存在zhix 0，當 x x有 f daox 回a 答 x x,有界，又f x 在r上連續，在閉區間 x,x 上存在最小值最大值，即f x 在 x,x 上有界，綜上，f x 在r上有界。lim x f x 這個錯了吧？是不是lim x f x 這個？設函式f x 在區...
高等數學。設函式f x 在閉區間上連續，在開區間 a,b 內可導，且f a f b
令f x xf x f x f x xf x 顯然滿足羅爾定理的前2個條件 又因為f a f b 0 所以至少存在一點 a,b 使得f 0 即 f f 0.建構函式 baiduf x e x 2 f x 且f a f b 0 由題意zhi知道 f a f b 0 f x 為可導函式根據羅爾定理，da...
設fx在區間上連續，證明bafxdx
證明 做變數替換a b x t,則dx dt,當x b,t a,當x a,t b 於是 a,b f a b x dx b,a f t dt a,b f t dt a,b f x dx 即 a,b f x dx a,b f a b x dx 命題得證。注 緊跟積分符號後面的為積分區間 設fx在區間 a...