1樓：匿名使用者
矩陣的秩的定義
方式有兩種，一種是用矩陣的列向量組的秩來定義，如果按這種方式定義，那麼矩陣a的秩當然就是其列向量組的秩了。
另一種定義方式是用矩陣的最高端非零子式來定義的。你要問的應該是按這種方式定義的。
如果按這種方式定義，社矩陣a的秩為r，則矩陣a必有乙個r階子式不為0，而所有的r+1節子式都為0。於是這個非零子式所在的列向量組必線性無關，而任意r+1個列向量必線性相關，故這r個列向量就是整個列向量組的乙個極大無關組，故矩陣的列向量組的秩為r。
所以矩陣a的秩等於其列向量組的秩。
同理，矩陣a的秩也等於其行向量組的秩。
為什麼矩陣的秩等於行秩也等於列秩
2樓：河傳楊穎
因為每個矩陣都可以通過初等變換，得到唯一的標準型與之對應，而標準型中的非零行數就是秩。不管通過初等行變換來求行秩，還是初等列變換求列秩，最終都可以化成這個唯一的標準型，且行秩（或列秩），就等於秩。
矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是，矩陣可以看作線性對映的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。
這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。
列秩應用
計算矩陣的秩的乙個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則方程組只要有乙個解。在這種情況下，它有精確的乙個解，如果它的秩等於方程的數目。
如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則通解有k個自由參量，這裡的k是在方程的數目和秩的差。否則方程組是不一致的。
在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。
3樓：匿名使用者
這個矩陣的秩為2.列秩也為2
-21/5 x 2+24/5 x3 =6
-21/5 x 7+24/5 x8 =9
矩陣的秩的定義：存在k階子式不為0，對任意k+1階子式均為0，則k即為矩陣的秩。
向量組的秩的定義：向量組的極大線性無關組所包含向量的個數，稱為向量組的秩。
其次再弄清楚3個定理：
1，矩陣a的行列式不為0的充要條件是a的行(列)向量線性無關
2，無關組加分量仍無關
3， r個n維列向量組線性無關的充要條件是這r個n維列向量組所構成的矩陣至少存在乙個r階子式不為0
好了，簡略證明過程開始,我先證「矩陣的秩等於列向量組的秩」。假設n階矩陣的秩為r，其列向量組的秩為s。（我們的目標：就是證明r=s）
一方面，矩陣的秩為r，即為其有k階子式不為0(矩陣秩的定義)，則該k階子式的列向量線性無關(定理1)，則其k階子式所在矩陣的列向量必線性無關(定理2)，則由向量組的秩的定義可知r≤s。
另一方面，列向量組的秩為s，由定理3知，必有乙個s階子式不為0，故由矩陣的秩的定義可知s≤r。
聯立即得，r=s！
同理可證，矩陣的秩等於行向量組的秩！
@∮一叢萱草∮
4樓：匿名使用者
這是定義，行秩等於列秩，不能行秩為2，但列秩為3。
請問老師，為什麼「矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩」？
5樓：星月精靈
首先，因為矩陣的秩就是定義為行向量組的秩（也可以定義成列向量組的秩）。
其次，矩陣的秩定義為它的行向量的秩。因為有結論：轉置矩陣與原矩陣有相同的秩。所以行向量組的秩與列向量的秩相等。
例如，乙個三行四列的滿秩矩陣，它的秩為3，如果你將其化為乙個4行3列的矩陣，它的秩也為3。
擴充套件資料：
一：矩陣乘法
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第乙個矩陣的列數（column）和第二個矩陣的行數（row）相同時才有意義 。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。
乙個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的乙個數陣。
由於它把許多資料緊湊的集中到了一起，所以有時候可以簡便地表示一些複雜的模型。
二：矩陣乘法注意事項
1、當矩陣a的列數等於矩陣b的行數時，a與b可以相乘。
2、矩陣c的行數等於矩陣a的行數，c的列數等於b的列數。
3、乘積c的第m行第n列的元素等於矩陣a的第m行的元素與矩陣b的第n列對應元素乘積之和。
三：基本性質
1.乘法結合律： (ab)c=a(bc)
2.乘法左分配律：(a+b)c=ac+bc
3.乘法右分配律：c(a+b)=ca+cb
4.對數乘的結合性k(ab）=(ka)b=a(kb）
5.轉置 (ab)t=btat
6.矩陣乘法一般不滿足交換律 。
7.注：可交換的矩陣是方陣。
6樓：∮一叢萱草
都是大姨媽的回答，看你大表叔我的~
首先為了幫助你明白，你先要弄清楚2個定義：
矩陣的秩的定義：存在k階子式不為0，對任意k+1階子式均為0，則k即為矩陣的秩。
向量組的秩的定義：向量組的極大線性無關組所包含向量的個數，稱為向量組的秩。
其次再弄清楚3個定理：
1，矩陣a的行列式不為0的充要條件是a的行(列)向量線性無關
2，無關組加分量仍無關
3， r個n維列向量組線性無關的充要條件是這r個n維列向量組所構成的矩陣至少存在乙個r階子式不為0
好了，簡略證明過程開始,我先證「矩陣的秩等於列向量組的秩」。假設n階矩陣的秩為r，其列向量組的秩為s。（我們的目標：就是證明r=s）
一方面，矩陣的秩為r，即為其有k階子式不為0(矩陣秩的定義)，則該k階子式的列向量線性無關(定理1)，則其k階子式所在矩陣的列向量必線性無關(定理2)，則由向量組的秩的定義可知r≤s。
另一方面，列向量組的秩為s，由定理3知，必有乙個s階子式不為0，故由矩陣的秩的定義可知s≤r。
聯立即得，r=s！
同理可證，矩陣的秩等於行向量組的秩！
完全原創，碼字辛苦，樓主不明白可追問，明白請採納！
7樓：匿名使用者
因為矩陣的初等變換不改變矩陣的秩！！！
所有的矩陣初等變換的結果，都是如下形狀：
對角線上一些1，0。其他元素全0。
這個時候你能看出來行秩和列秩都是1的個數。
8樓：老蝦公尺
矩陣的秩定義為它的行向量的秩。因為有結論：轉置矩陣與原矩陣有相同的秩。所以行向量組的秩與列向量的秩相等。
你看看書中 「轉置矩陣與原矩陣有相同的秩」的證明就可以了。
矩陣秩的定義問題,關於矩陣的秩的定義的問題
這是因為各教材對知識點的教授順序不同.有的教材先講向量組的秩,由向量組的秩定義矩陣的秩 如黃惠青的 確實嚴格說,定義不應這樣寫.行秩等於列秩是性質 關於矩陣的秩的定義的問題 最初開始學的時候，定義是最開始的那一種，然後隨著對矩陣學習的深入，可以逐漸證明第一種定義算出來的秩與行秩，列秩是相等的，而且第...
列向量a線性無關和列滿秩的區別，滿秩的向量組都是線性無關的嗎
無區別，等價 行 列 滿秩矩陣等價於矩陣的行 列 向量線性無關,這是對的,它們兩個可以互相推得，不需要證明。解析 因為矩陣的列秩就是其列向量組的最大線性無關組所含向量的個數,如果矩陣列滿秩,則其列向量組的最大線性無關組所含向量的個數一定等於矩陣的行數。即矩陣的列向量組是線性無關的。同樣對行也是一樣。...
劉老師你好，矩陣A的轉置乘以矩陣A，其秩會等於A嗎
a是實矩陣就可以 實矩陣是指a中元素都是實數 不一定是對稱矩陣.此時 r a ta r a 證明方法是用齊次線性方程組 ax 0 與 a tax 0 同解.a不一定是方陣,不一定可逆 根據矩陣秩的定義結合行列式與轉置行列式相等顯然矩陣的秩與其轉轉置矩陣的秩相等 矩陣a的轉置乘以矩陣a，其秩會等於a嗎...