1樓：匿名使用者
證明:(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)設x2是a'ax=0的解, 則a'ax2=0等式兩邊左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
綜上知齊次線性方程組ax=0與a'ax=o是同解方程組.
所以 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a) = r(a'a).
所以 r(a) = r(a') = r((a')'a') = r(aa').
2樓：胡圖小生
構造方程 1 ax=0
2 aa'x=0
證明1，2同解
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).
3樓：
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
4樓：匿名使用者
這個樣子可能可以：
a=peq 其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣那麼a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
設**'=(x y)
(z w)
其中x為r*r的矩陣且其軼也為r，因為它是可逆矩陣的乙個分塊。
所以上式可以化簡為：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等於r。
可能看起來比較不爽，可是我也打不出來比較好的效果，湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
5樓：匿名使用者
king__dom的做法很棒
我看到你的那個 矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).的解答 問下如果如果是在複數域上
6樓：匿名使用者
r（a的共軛轉置*a）=r(a)，證明中把原來的轉置都改為共軛轉置就行了
a矩陣乘a的轉置 的秩等於a的秩，那這裡是為什麼？ 10
7樓：三三
因為沒說是實矩陣嗎？只有實矩陣的時候相等。
設a是實矩陣，證明：a轉置乘a與a乘a轉置的秩相同。
8樓：霧光之森
若ax=0,則a'ax=0; 若a'ax=0,則x'a'ax=0,即(ax)'ax=0,故ax=0.
從而方程ax=0跟方程a'ax=0通解。所以r(a'a)=r(a)；同理有r(aa')=r(a')。
且注意到r(a)=r(a')，故r(a'a)=r(a'a)。
為什麼（a的轉置乘以a）的秩=a的秩
9樓：援手
用a'表示a的轉置，要證明r(a'a)=r(a)，只需證明方程組ax=0和a'ax=0同解。如果ax=0，兩邊分別左乘a'，得a'ax=0，這說明方程組ax=0的解都是方程組a'ax=0的解；另一方面，如果a'ax=0，兩邊分別左乘x'，得x'a'ax=0，即(ax)'ax=0，令y=ax，則y'y=0，注意y=ax為n維列向量，因此可設y=(y1,y2,,,yn)'，則y'y=y1^2+...+yn^2=0，因此y1=...
yn=0，即y=ax=0，這說明方程組a'ax=0的解都是方程組ax=0的解，綜上我們證明了ax=0和a'ax=0同解，因此r(a'a)=r(a)。
矩陣a和a的轉置相乘得到的是什麼?
10樓：不是苦瓜是什麼
如果a是正交矩陣，那
相乘就等於單位矩陣了，如果不是，那就是他們倆相乘。
若b為n階hermite正定矩陣，則存在n階矩陣a 且a為下三角矩陣，使得b等於 a乘以a的共軛轉置。放在實數域內就是 a乘以a的轉置矩陣了，呵呵，其實 這就是所謂矩陣的cholesky分解。
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
11樓：匿名使用者
只能說a和a的轉置相乘可以得到乙個對稱陣，沒有其它的一般性結論。
設a『表示a的轉置，那麼aa』和a『a的秩是相同的嗎？怎麼證明？
12樓：翦廷謙貝棋
設a是m×n的矩陣。
可以通過證明
ax=0
和a'ax=0
兩個n元齊次方程同解證得
r(a'a)=r(a)
1、ax=0
肯定是a'ax=0
的解，好理解。
2、a'ax=0
→x'a'ax=0
→(ax)'
ax=0
→ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得
r(aa')=r(a')另外有
r(a)=r(a')
所以綜上
r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
13樓：匿名使用者
當a是實矩陣時結論成立.
用齊次線性方程組同解的方法證明.
顯然, ax=0 的解都是 a'ax=0 的解.
反之, 若x1是 a'ax=0的解
則 a'ax1=0
所以 x1'a'ax1=0
故 (ax1)'(ax1)=0
所以有 ax1=0
即 a'ax=0 的解是 ax=0 的解故 ax=0 與 a'ax=0 同解
所以 r(a) = r(a'a).
同理有 r(a') = r((a')'a') = r(aa')而 r(a') = r(a)
矩陣a乘以它的轉置矩陣後得到的矩陣b的秩等於a的秩，為什麼？ 即若b=a^t a，求證：r(b)=r(a).
14樓：匿名使用者
a是實矩陣時結論成立.
證明思路:
齊次線性方程組 ax=0 與 a^tax=0 同解.
先自己試證, 哪卡住來追問
15樓：電燈劍客
這個結論的前提是a是實矩陣
可以通過方程ax=0和a^tax=0同解來證明
當然，如果你知道奇異值分解的話更簡單
矩陣的秩和矩陣的轉秩相等如何證明
先證明初等變換不改變行秩和列秩，然後把a化到等價標準型，那麼a t也可以相應地化到等價標準型，此時顯然可以得到兩者有相同的秩 如果你會證明秩是非零子式的最大階數那這個問題也是顯然的 如何用矩陣的秩的定義證明乙個矩陣與其轉置矩陣的秩相等。矩陣a的任乙個k階子式m a轉置後在a t的位置是行列互換 所以...
劉老師你好，矩陣A的轉置乘以矩陣A，其秩會等於A嗎
a是實矩陣就可以 實矩陣是指a中元素都是實數 不一定是對稱矩陣.此時 r a ta r a 證明方法是用齊次線性方程組 ax 0 與 a tax 0 同解.a不一定是方陣,不一定可逆 根據矩陣秩的定義結合行列式與轉置行列式相等顯然矩陣的秩與其轉轉置矩陣的秩相等 矩陣a的轉置乘以矩陣a，其秩會等於a嗎...
線性代數A矩陣乘以A的轉置的含義或者幾何意義
對於任意矩陣a 甚至是非方的 a t a 這個時候就變成方陣了，可以算特徵值了 的特徵值就稱為a的奇異值。奇異值有個特性，就是a t a和aa t 特徵值相同。證明如下 假定a t a做了乙個特徵分解，為 a t a q q t 對上式取轉置，有aa t q t q t 顯然，是個對角陣，因而，t ...