1樓：援手
用a'表示a的轉置，要證明r(a'a)=r(a)，只需證明方程組ax=0和a'ax=0同解。如果ax=0，兩邊分別左乘a'，得a'ax=0，這說明方程組ax=0的解都是方程組a'ax=0的解；另一方面，如果a'ax=0，兩邊分別左乘x'，得x'a'ax=0，即(ax)'ax=0，令y=ax，則y'y=0，注意y=ax為n維列向量，因此可設y=(y1,y2,,,yn)'，則y'y=y1^2+...+yn^2=0，因此y1=...
yn=0，即y=ax=0，這說明方程組a'ax=0的解都是方程組ax=0的解，綜上我們證明了ax=0和a'ax=0同解，因此r(a'a)=r(a)。
a矩陣乘a的轉置 的秩等於a的秩，那這裡是為什麼？ 10
2樓：三三
因為沒說是實矩陣嗎？只有實矩陣的時候相等。
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).
3樓：
設 a是 m×n 的矩陣。
可以通過證明 ax=0 和a'ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故兩個方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以綜上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
4樓：匿名使用者
這個樣子可能可以：
a=peq 其中e是a的標準型,p,q為可逆矩陣那麼a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
設**'=(x y)
(z w)
其中x為r*r的矩陣且其軼也為r，因為它是可逆矩陣的乙個分塊。
所以上式可以化簡為：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等於r。
可能看起來比較不爽，可是我也打不出來比較好的效果，湊和看吧。
也可能有比較簡單的方法。就這樣吧。
5樓：匿名使用者
king__dom的做法很棒
證明：矩陣a與a的轉置a'的乘積的秩等於a的秩，即r(aa')=r(a).詳細解答
6樓：匿名使用者
證明:(1)設x1是ax=0的解, 則ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)設x2是a'ax=0的解, 則a'ax2=0等式兩邊左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [長度為0的實向量必為0向量, 此時用到a是實矩陣]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
綜上知齊次線性方程組ax=0與a'ax=o是同解方程組.
所以 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a) = r(a'a).
所以 r(a) = r(a') = r((a')'a') = r(aa').
7樓：胡圖小生
構造方程 1 ax=0
2 aa'x=0
證明1，2同解
劉老師你好，矩陣A的轉置乘以矩陣A，其秩會等於A嗎
a是實矩陣就可以 實矩陣是指a中元素都是實數 不一定是對稱矩陣.此時 r a ta r a 證明方法是用齊次線性方程組 ax 0 與 a tax 0 同解.a不一定是方陣,不一定可逆 根據矩陣秩的定義結合行列式與轉置行列式相等顯然矩陣的秩與其轉轉置矩陣的秩相等 矩陣a的轉置乘以矩陣a，其秩會等於a嗎...
證明 矩陣A與A的轉置A的乘積的秩等於A的秩，即r AAr A 詳細解答
證明 1 設x1是ax 0的解,則ax1 0所以a ax1 a ax1 a 0 0所以x1是a ax 0的解.故 ax 0 的解是 a ax 0 的解.2 設x2是a ax 0的解,則a ax2 0等式兩邊左乘 x2 得 x2 a ax2 0所以有 ax2 ax2 0 所以 ax2 0.長度為0的實...
為什麼矩陣A的秩等於A的列秩等於A的行秩
矩陣的秩的定義 方式有兩種，一種是用矩陣的列向量組的秩來定義，如果按這種方式定義，那麼矩陣a的秩當然就是其列向量組的秩了。另一種定義方式是用矩陣的最高端非零子式來定義的。你要問的應該是按這種方式定義的。如果按這種方式定義，社矩陣a的秩為r，則矩陣a必有乙個r階子式不為0，而所有的r 1節子式都為0。...