1樓:匿名使用者
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
2樓:匿名使用者
r(a)+r(b)<=n
兩個矩陣的乘積為零矩陣,那麼這兩個矩陣的秩之間有什麼關係?
3樓:
忘得差不多了,只記得有乙個:
兩個n階矩陣的乘積為零矩陣,則兩個n階矩陣的秩之和小於等於n
兩個矩陣的乘積為非零 它們的 秩有什麼關係
4樓:匿名使用者
關係是:r(c)<=min(r(a),r(b))證明:將a,c按列分塊,
a=(a1,a2,...,an),c=(c1,c2,...,cm),令b=(bij)
則c=ab可表示為
(c1,c2,...,cm)=(a1,a2,...,an)b可得cj=b1ja1+b2ja2+...+bnjan (j=1,2,...,m)
即c的列向量組可由a的列向量組線性表示,
所以c的列向量組的秩<=a的列向量的秩。
即r(c)<=r(a)
同理可證r(c)<=r(b)
所以r(c)<=min(r(a),r(b))。
兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係
5樓:甜美志偉
關係: r(a)+r(b)<=n;
推導過程如下:
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣;
則 b 的列向量都是 ax=0的秩;
所以 r(b)<=n-r(a);
所以 r(a)+r(b)<=n。
擴充套件資料:
秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。
只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當 a有秩 n(在這種情況下,我們稱 a有「滿列秩」)。
f是滿射,當且僅當 a有秩 m(在這種情況下,我們稱 a有「滿行秩」)。
在方塊矩陣a(就是 m= n) 的情況下,則 a是可逆的,當且僅當 a有秩 n(也就是 a有滿秩)。如果 b是任何 n× k矩陣,則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。
即:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b)) 推廣到若干個矩陣的情況。
就是:秩(a1a2...am)≤min(秩(a1),秩(a2),...
秩(am)) 證明:考慮矩陣的秩的線性對映的定義,令a、b對應的線性對映分別為 f和 g,則秩(ab)表示復合對映 f·g,它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。
然而 im g是整個空間的一部分,因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。
對矩陣就是:秩(ab)≤秩(a)。對於另乙個不等式:
秩(ab)≤秩(b),考慮 im g的一組基:(e1,e2,...,en),容易證明(f(e1),f(e2),...
,f(en))生成了空間 im f·g,於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。
對矩陣就是:秩(ab)≤秩(b)。因此有:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b))。若干個矩陣的情況證明類似。
作為 "<" 情況的乙個例子,考慮積 兩個因子都有秩 1,而這個積有秩 0。可以看出,等號成立當且僅當其中乙個矩陣(比如說 a)對應的線性對映不減少空間的維度,即是單射,這時 a是滿秩的。
於是有以下性質:如果 b是秩 n的 n× k矩陣,則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣,則 ca有同 a一樣的秩。
a的秩等於 r,當且僅當存在乙個可逆 m× m矩陣 x和乙個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數(這就是秩-零化度定理)。
6樓:墨陌沫默漠末
關係是r(a)+r(b)<=n。
因為ab=0,所以b的每一列都是線性
方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。
而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a),m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者,表示為 min(m,n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為「欠秩」)的。
設a是一組向量,定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。
定義1、在m*n矩陣a中,任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的乙個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為a的乙個k階子式。
例如,在階梯形矩陣中,選定1,3行和3,4列,它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的乙個2階子式。
定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩,記作ra,或ranka或r(a)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然ra≤min(m,n) 易得:
若a中至少有乙個r階子式不等於零,且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(a)=0。
由行列式的性質1(1.5)知,矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。
7樓:匿名使用者
它們的秩序關係是乙個數字乘以零
8樓:匿名使用者
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
9樓:電燈劍客
如果a是mxn的矩陣,b是nxk的矩陣,ab=0,那麼rank(a)+rank(b)<=n
10樓:alone丶
關係是:r(c)。。。。
兩個矩陣乘積的秩滿足的不等式有哪些
11樓:匿名使用者
1、r(a)≤min(m,n)≤m,n。
2、r(ka+lb)≤r(a)+r(b)。
3、r(ab)≤min(r(a),r(b)) ≤r(a)。
4、r(abc)≥r(ab)+r(bc)-r(b)。
5、r(ac)≥r(a) +r(c) -n上推,令b=in。
6、r(ka+lb)-n≤r(a)+r(b)-n≤r(ab)≤min(r(a),r(b))≤r(a)。
擴充套件資料:m×n矩陣的秩最大為m和n中的較小者。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩,否則矩陣是秩不足的。
矩陣的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為rk(a) 或 ranka。
只有零矩陣有秩0,a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當a有秩n(在這種情況下,我們稱 a有「滿列秩」)。
12樓:小樂笑了
行秩 = 列秩 = 秩
r(a) ≤
min(m,n) ≤ m, n
r(a+b) = r(b+a)
r(a-b) = r(b-a)
r(ka + lb) ≤ r(a) + r(b)r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤ r(a)r(b)
r(abc) ≥ r(ab) + r(bc) - r(b)frobenius(sylvester)不等式
r(ac) ≥ r(a) + r(c) - n上推,令b=inr(a+b)-n = r(b+a)-n
r(a-b)-n = r(b-a)-n
r(ka+lb)-n ≤ r(a) + r(b) - n ≤ r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤ r(a)
r(b)上推
什麼情況下兩個矩陣相乘得0其中必有乙個矩陣是0矩陣?
13樓:南瓜蘋果
ab=0加上a列滿秩的條件可以得到b=0
(如果a不是列滿秩的,那麼ax=0一定有非零解,在這個意義下「a列滿秩」其實是充要的)
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第乙個矩陣的列數(column)和第二個矩陣的行數(row)相同時才有意義 。
一般單指矩陣乘積時,指的便是一般矩陣乘積。乙個m×n的矩陣就是m×n個數排成m行n列的乙個數陣。由於它把許多資料緊湊的集中到了一起,所以有時候可以簡便地表示一些複雜的模型。
擴充套件資料
矩陣乘法:
1、當矩陣a的列數等於矩陣b的行數時,a與b可以相乘。
2、矩陣c的行數等於矩陣a的行數,c的列數等於b的列數。
3、乘積c的第m行第n列的元素等於矩陣a的第m行的元素與矩陣b的第n列對應元素乘積之和。
基本性質
乘法結合律: (ab)c=a(bc).
乘法左分配律:(a+b)c=ac+bc
乘法右分配律:c(a+b)=ca+cb
對數乘的結合性k(ab)=(ka)b=a(kb).
轉置 (ab)t=btat.
矩陣乘法一般不滿足交換律[3] 。
*注:可交換的矩陣是方陣。
參考資料
14樓:電燈劍客
ab=0加上a列滿秩的條件可以得到b=0,你說的都是特殊情況
(如果a不是列滿秩的,那麼ax=0一定有非零解,在這個意義下「a列滿秩」其實是充要的)
15樓:匿名使用者
15 什麼情況下兩個矩陣相乘得0其中必有乙個矩陣是0矩陣?
比如αβt=0,α和β都是列向量,要想得0只能有乙個是0向量再如ab=0,a是可逆矩陣,
16樓:最新工業爐設計
只要是兩個矩陣之間積為0,那麼必然有乙個矩陣等於0。
兩個矩陣的乘積為零它們的秩有什麼關係
關係 r a r b n 推導過程如下 設ab 0,a是mxn,b是nxs 矩陣 則 b 的列向量都是 ax 0的秩 所以 r b n r a 所以 r a r b n。擴充套件資料 秩性質我們假定 a是在域 f上的 m n矩陣並描述了上述線性對映。只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min m,n ...
兩個矩陣相似，為什麼它們的秩相等
矩陣a與b相似，則b p 1 ap，可逆矩陣是初等陣的乘積，所以a可以經過初等變換化為b，而初等變換不改變矩陣的秩，所以r b r a p 1 表示p的 1次冪,也就是p的逆矩陣 矩陣a與b相似，必須同時具備兩個條件 1 矩陣a與b不僅為同型矩陣，而且是方陣。2 存在n階可逆矩陣p，使得p 1ap ...
兩個矩陣的秩在哪些情況下相同,兩個矩陣秩相同可以說明兩個矩陣等價嗎
這個太寬泛了,我給bai你幾du個常用的吧,首先線性方程組zhi有解要求係數dao矩陣和增光版矩陣的秩想當。其次,兩矩 權陣相似或者等價,秩相等。若a和對角矩陣相似,則和對角矩陣秩相等。兩個合同矩陣秩相等。兩個最高端子式子不為零的階數相等的矩陣秩相等。等等。兩個同型係數矩陣所組成的同解齊次方程,他們...