1樓：甜美志偉
關係： r(a)+r(b)<=n；
推導過程如下：
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣；
則 b 的列向量都是 ax=0的秩；
所以 r(b)<=n-r(a)；
所以 r(a)+r(b)<=n。
擴充套件資料：
秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。
只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射，當且僅當 a有秩 n（在這種情況下，我們稱 a有「滿列秩」）。
f是滿射，當且僅當 a有秩 m（在這種情況下，我們稱 a有「滿行秩」）。
在方塊矩陣a（就是 m= n) 的情況下，則 a是可逆的，當且僅當 a有秩 n（也就是 a有滿秩）。如果 b是任何 n× k矩陣，則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。
即：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b)) 推廣到若干個矩陣的情況。
就是：秩（a1a2...am)≤min（秩（a1），秩（a2），...
秩（am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令a、b對應的線性對映分別為 f和 g，則秩（ab)表示復合對映 f·g，它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。
然而 im g是整個空間的一部分，因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（a）。對於另乙個不等式：
秩（ab）≤秩（b），考慮 im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...
，f(en））生成了空間 im f·g，於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。
對矩陣就是：秩（ab）≤秩（b）。因此有：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b））。若干個矩陣的情況證明類似。
作為 "<" 情況的乙個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。可以看出，等號成立當且僅當其中乙個矩陣（比如說 a）對應的線性對映不減少空間的維度，即是單射，這時 a是滿秩的。
於是有以下性質：如果 b是秩 n的 n× k矩陣，則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣，則 ca有同 a一樣的秩。
a的秩等於 r，當且僅當存在乙個可逆 m× m矩陣 x和乙個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。
2樓：墨陌沫默漠末
關係是r(a)+r(b)<=n。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性
方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤ n-r(a)。
而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a)，m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者，表示為 min(m,n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為「欠秩」）的。
設a是一組向量，定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。
定義1、在m*n矩陣a中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的乙個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為a的乙個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的乙個2階子式。
定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩，記作ra，或ranka或r(a)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然ra≤min(m,n) 易得：
若a中至少有乙個r階子式不等於零，且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(a)=0。
由行列式的性質1(1.5)知，矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。
3樓：匿名使用者
它們的秩序關係是乙個數字乘以零
4樓：匿名使用者
設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
5樓：電燈劍客
如果a是mxn的矩陣，b是nxk的矩陣，ab=0，那麼rank(a)+rank(b)<=n
6樓：alone丶
關係是:r(c)。。。。
兩個矩陣的乘積為零矩陣，那麼這兩個矩陣的秩之間有什麼關係？
7樓：
忘得差不多了，只記得有乙個：
兩個n階矩陣的乘積為零矩陣，則兩個n階矩陣的秩之和小於等於n
兩個矩陣相乘零矩陣，秩的關係
8樓：
兩種證明方法。
第一種是用分塊矩陣乘法來證明。(不太好書寫，可以見線性代數習題冊答案集)；
第二種是線性方程組的解的關係來證明。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤ n-r(a)。而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
兩個矩陣的乘積為非零 它們的 秩有什麼關係
9樓：匿名使用者
關係是：r(c)<=min(r(a),r(b))證明：將a,c按列分塊，
a=(a1,a2,...,an),c=(c1,c2,...,cm),令b=(bij)
則c=ab可表示為
(c1,c2,...,cm)=(a1,a2,...,an)b可得cj=b1ja1+b2ja2+...+bnjan (j=1,2,...,m)
即c的列向量組可由a的列向量組線性表示，
所以c的列向量組的秩<=a的列向量的秩。
即r(c)<=r(a)
同理可證r(c)<=r(b)
所以r(c)<=min(r(a),r(b))。
兩個矩陣相乘的秩
10樓：夢想隊員
定理：如果ab=0，則秩(a)+秩(b)≤n。
證明：將矩陣b的列向量記為bi。∵ab=0，所∴abi=0，∴bi為ax=0的解。
∵ax=0的基礎解系含有n-秩(a)個線性無關的解，∴秩(b)≤n-秩(a)，
即秩(a)+秩(b)≤n。
ps：這個結論在證明或者選擇填空中都經常用到，需要記住並應用~
11樓：橋蘭英夙緞
兩種證明方法。
第一種是用分塊矩陣乘法來證明。(不太好書寫，可以見線性代數習題冊答案集)；
第二種是線性方程組的解的關係來證明。
因為ab=0，所以b的每一列都是線性方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論，ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數（或者說解空間的維數）≤
n-r(a)。而b的列向量組是解空間的一部分，所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數，也就是≤
n-r(a)，所以r(b)≤
n-r(a)，從而r(a)+r(b)<=n。
兩非零矩陣相乘等於零,則他們的秩滿足
12樓：匿名使用者
設 a,b分別是 m*s, s*n 矩陣
若 ab = 0
則 b 的列向量都是 ax = 0的解
所以 r(b) 所以 r(a)+r(b)
滿意請採納^_^
13樓：匿名使用者
r(a)+r(b) <= s
兩個矩陣相乘後的秩和兩個矩陣的秩相乘的結果一樣嗎
14樓：電燈劍客
這個顯然是錯的，考慮兩個n階單位陣相乘
15樓：圭虎貿依絲
定理：如果ab=0，則秩(a)+秩(b)≤n。
證明：將矩陣b的列向量記為bi。∵ab=0，所∴abi=0，∴bi為ax=0的解。
∵ax=0的基礎解系含有n-秩(a)個線性無關的解，∴秩(b)≤n-秩(a)，
即秩(a)+秩(b)≤n。
ps：這個結論在證明或者選擇填空中都經常用到，需要記住並應用~
兩個矩陣的乘積為零它們的秩有什麼關係
設ab 0,a是mxn,b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax 0 的解 所以 r b n r a 所以 r a r b n r a r b n 兩個矩陣的乘積為零矩陣,那麼這兩個矩陣的秩之間有什麼關係?忘得差不多了,只記得有乙個 兩個n階矩陣的乘積為零矩陣,則兩個n階矩陣的秩之和小於等於n 兩...
兩個矩陣相似，為什麼它們的秩相等
矩陣a與b相似，則b p 1 ap，可逆矩陣是初等陣的乘積，所以a可以經過初等變換化為b，而初等變換不改變矩陣的秩，所以r b r a p 1 表示p的 1次冪,也就是p的逆矩陣 矩陣a與b相似，必須同時具備兩個條件 1 矩陣a與b不僅為同型矩陣，而且是方陣。2 存在n階可逆矩陣p，使得p 1ap ...
兩個矩陣的秩在哪些情況下相同,兩個矩陣秩相同可以說明兩個矩陣等價嗎
這個太寬泛了,我給bai你幾du個常用的吧,首先線性方程組zhi有解要求係數dao矩陣和增光版矩陣的秩想當。其次,兩矩 權陣相似或者等價,秩相等。若a和對角矩陣相似,則和對角矩陣秩相等。兩個合同矩陣秩相等。兩個最高端子式子不為零的階數相等的矩陣秩相等。等等。兩個同型係數矩陣所組成的同解齊次方程,他們...