一道高中數學題，已知 n屬於N且n 2，求證 1 nlnn

1樓：東南泛

因為n=2

所以1/2+1/3+…+1/n=1/2

lnn=ln2

1+1/2+...1/n=1+1/2=3/2e的1/2次方（根號e）＜e的ln2次方（2）＜e的3/2次方所以1/2

記得採納哦謝謝！

2樓：

本題其實難在兩個不等式的放縮，和一些簡單的極限基本知識。

（1）首先你必須知道以下事實：

1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x

2.f(x)=lnx，是以e為底的對數，叫自然對數。

（2）然後讓我們用初等數學來證明兩個解本題的基本結論

1.數列ax=(1+1/x)^x是單調遞增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x

證明：即證[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1) x是正整數

1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)個(x+1)次根號下[(1/x)^x*1/(x+1)]

[然後將x+1放到根號中去]

=(x+1)次根號下[(x+1/x)^x]

1+1/(x+1)>(x+1)次根號下[(x+1/x)^x]

(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x 而e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x

所以(1+1/x)^x1+1/x+1/x^2+1/x^3

所以(1+1/x)^(x+1)<(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x<[1+1/(x-1)]^x

而e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x

所以e<[1+1/(x-1)]^x

其實，1.還可以用二項式定理證明，不過我不大記得了，你可以試試看。

(3)最後用數學歸納法證明此不等式1/2+1/3+……+1/n1/k,而1/2+1/3+……+1/k-1

所以1/2+1/3+……+1/k

另一方面(1+1/x)^x

兩邊取對手數，ln(1+1/k-1)<1/(k-1),而ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）

所以ln(k-1)+ln(1+1/k-1)=lnk<1+1/2+……+1/（k-1）

所以當n=k時，不等式成立。

綜上，1/2+1/3+……+1/n

實際上1+1/2+1/3...+1/n當n趨向於無窮大時，等於lnn，是發散的。

3樓：俱懷逸興壯思飛欲上青天攬明月

這個題目好難好難啊，同求大神。吼吼

n屬於n,n>=2,求證1/2+1/3+...+1/n