等差數列有無可能每項都是完全平方數

1樓：匿名使用者

這個問題可以表述為如下形式：

「完全平方數構成的集合是否含有任意長度的等差數列。」這句話隱含了公差不能為0.

szemeredi定理告訴我們，正上banach密度的整數子集包含任意長度的等差數列，然而完全平方數顯然不是正密度的——它們足夠稀疏。不僅如此，完全平方數的倒數級數是乙個有限值（euler證明其為π^2/6），所以必然存在乙個整數n，使得n>n時，長度為n的等差數列是無法讓每一項取得完全平方數的。

而在較小的範圍內，存在著1 25 49這樣長度為3的等差數列，設存在等差數列a^2 b^2 c^2，a b c互異，則a^2+c^2=2b^2。令x=a/b y=c/b，可得二次曲線x^2+y^2=2，問題轉化為驗證二次曲線有理點的存在性。

後面的部分得用代數數論做了，有興趣的同學可以自學一下。至少可以找到另一組解(a b c)=(8599 50005 70193)，它們的平方是73942801,2500500025,4927057249，公差是2426557224.

2樓：匿名使用者

最小的解是1，25，49，有無窮多解。設2a^2=（a-m）^2+（a+n）^2。化簡後，利用數論知識，可以證明有無窮多解。

3樓：匿名使用者

有可能，例如1，1，1，1，1……或者0，0，0，0……

如何判斷乙個二階等差數列有沒有完全平方數，有的話，有幾個？

4樓：匿名使用者

完全平方數末位只可能是0,1,4,9,6,5a:100

b:1,49,169

c:沒有

已知an是乙個首項為9,公差為7的等差數列,（1）證明:數列an中有無窮多項是完全平方數

5樓：笨鳥

a1=9=3^2 a2=16=4^2 an=7n+2存在an=m^2,則7|an-a1或7|an-a2(an與a1 、a2同餘的意思)

an-a1=(m+3)(m-3) an-a2=(m+4)(m-4)只要上面四個因式其中乙個能被7整除，則m^2必定在數列an中上面的因式能被7整除的有無數項

∴命題得證

整理1可得形如m=7k±3（kεn），m的平方在數列中3^2 4^2 10^2 11^2

(7*0+3)^2,(7*1-3)^2, (7*1+3)^2, (7*2-3)^2 ……(7*k/2+3)^2 (7*(k-1)/2-3)^2

k=100,an=(7*100/2+3)^2=124609n=(an-2)/7=17801

∴第100個完全平方數是第17801項