1樓：風殘月吖
1.x=x0時討論taylor，意義是不大的。
上述證明中x是乙個變數，taylor公式是乙個函式，而不是乙個定數，所以第乙個問題不是「乙個真正的問題」。
如果非要問f(x)在x0處的taylor式，那就是f(x0)嘛，當然是唯一的
2.第二問也「問得有問題」
關鍵在於你對符號o（）的理解，小o意指高階無窮小量，它不是乙個具體的數，也不是乙個具體函式，而是代指一系列的函式（只要是高階無窮小），所以o[(x-x0)^n]不等於o[(x-x0)^n],它是動態的，對於它只能做極限運算，常規的移項、消去、合併、加減、比較對o[(x-x0)^n]都沒有意義。
3.lagrange餘項是peano餘項的細化，對peano型taylor公式
得到的唯一性定理當然適用於lagrange
什麼是泰勒公式的唯一性？ 如圖 題目解答的第二步看不懂 求詳細解答過程
2樓：墨汁諾
一、若x趨於x0時有極限limf(x)=a，則此極限過程中f(x)可表示為f(x)=a+o(1)，其中o(1)表示無窮小，這是函式極限與無窮小的關係，可以用定義證明，證明過程教材上都有。本題中前面已求出x趨於0時limf(x)/x^n=4，故利用此關係就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。
而f(x)在x=0處的n階泰勒公式為f(x)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2!+...+f'(n)(0)/n!
+o(x^n)，正是由於泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0處的泰勒公式，將兩式中次數相同的項進行比較，就可以得出前n-1階導數都等於0，且f'(n)/n!=4。
二、可這樣理解：
設 f(x) = ∫<0, arcsinx> [1-cos(t^2)]dt/t
則 f'(x) = [1/√(1-x^2)] / arcsinx
~ (1/2)(arcsinx)^4 / arcsinx ~ (1/2)x^3， 是 x 的 3 階無窮小，
f(x) 是 x 的 4 階無窮小。
請教泰勒公式的唯一性怎麼理解？
3樓：匿名使用者
應該可以吧。微分形式不變性嘛。對某乙個函式而言，其導函式如果存在，那就是唯一的。
泰勒公式的唯一性怎麼應用
4樓：匿名使用者
泰勒公式[編輯]
泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函式在某點周圍的情況。比如說，指數函式ex在x= 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示：
稱為指數函式在0處的n階泰勒公式。這個公式只對0附近的x有用，x離0越遠，這個公式就越不準確。實際函式值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。
對於一般的函式，泰勒公式的係數的選擇依賴於函式在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函式在一點附近的最佳線性近似：，其中是h的高階無窮小。
也就是說，或。
注意到和在a處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函式，如果乙個多項式在a處的前n次導數值都與函式在a處的前n次導數值重合，那麼這個多項式應該能很好地近似描述函式在a附近的情況。以下定理說明這是正確的：
定理：設n是乙個正整數。如果函式f是區間[a, b] 上的n階連續可微函式，並且在區間[a, b) 上n+1 次可導，那麼對於[a, b) 上的任意x，都有：[2]
其中的多項式稱為函式在a處的泰勒式，剩餘的是泰勒公式的餘項，是的高階無窮小。的表達形式有若干種，分別以不同的數學家命名。
帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式說明了多項式和函式的接近程度：
也就是說，當x無限趨近a時，餘項將會是的高階無窮小，或者說多項式和函式的誤差將遠小於[3]。這個結論可以由下面更強的結論推出。
帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣：
即，其中[4]。
帶有積分型餘項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣[5]：
餘項估計[編輯]
拉格朗日型餘項或積分型餘項可以幫助估計泰勒式和函式在一定區間之內的誤差。設函式在區間[a r, a+ r]上n次連續可微並且在區間(a r, a+ r)上n+ 1次可導。如果存在正實數mn使得區間(a r, a+ r)裡的任意x都有 ，那麼：
其中。這個上界估計對區間(a r, a+ r)裡的任意x都成立，是乙個一致估計。
如果當n趨向於無窮大時，還有，那麼可以推出 ，f是區間(a r, a+ r)上解析函式。f在區間(a r, a+ r)上任一點的值都等於在這一點的泰勒式的極限。
多元泰勒公式[編輯]
對於多元函式，也有類似的泰勒公式。設b(a, r) 是歐幾里得空間rn中的開 球， 是定義在b(a, r) 的閉包上的實值函式，並在每一點都存在所有的n+1 次偏導數。這時的泰勒公式為：
對所有，
其中的 α 是多重指標。
其中的餘項也滿足不等式：
對所有滿足 |α| = n+ 1的
5樓：笑書神俠客
求高階導數會用到！抽象，具體，兩相比較可求出對應高階導數！
泰勒公式的乙個問題！求高手
6樓：匿名使用者
任意高數書上都會講taylor展式的惟一性，這就是用了唯一性而已。
有了唯一性，不論你用什麼方法（即使是錯誤的方法也可能得到正確的結果），
只要最後你保證一點：餘項是o(x^n)（一定要保證這一點），那麼
你得到的多項式就是taylor多項式，也就是你的結果是正確的。
這是taylor多項式的好處，就是大致上可以將之作為多項式處理。
比如sinx*ln(1+x)的展式：直接將sinx，ln(1+x)展為多項式，然後兩個多項式
相乘再合併同類項就可以了。但最後要保證餘項是o(x^n)，這一點很簡單，
因為只要ln(1+x)到o(x^n)，sinx到o(x^(2n－1))，那麼餘項
就是o(x^n)，因為此時兩個函式相乘後的項都是x^(m)*x^(k)，只要m+k>n，
這一項就是o(x^n)，因此ln(1+x)的餘項是o(x^n)，sinx的展式中次數最低也是1，
兩者相乘就是o(x^n)，其餘的那些高次項更是o(x^n)。因此兩個函式相乘時
合併同類項時你只需將次數不高於n次的項計算出來即可，高於n次的不用計算。
別的題目完全類似。
7樓：匿名使用者
其實想明白泰勒公式是怎麼回事就好了，之所以發明乙個餘項，就是因為你永遠表示不完所有項，表示到一定程度以後後面的項就是乙個高階無窮小。之所以把兩個乘在一起，是因為在誤差之內，泰勒多項式就是原來的那個函式的替換，所以一定可以乘。
8樓：展芙遊庚
(x-x0)^
n的一階導數等於n*(x
-x0)^(n
-1)，n
>1因為底數為零，指數非零，所以在x
=x0處，(x
-x0)^n
的高階導數為0；
而當n=
1時，x
-x0的導數為1。
泰勒公式和它的餘項是什麼意思 和中值定理有什麼關係？ 100
9樓：佘琇逯儂
總的來說，泰勒中值定理是泰勒公式的一種。
首先，要明白什麼是中值定理，顧名思義，就是要對「中間」的「值」而言的，即某函式在某區間的某一點或幾點上存在的性質。常表述為：「在[
，]上必存在點（或至少存在一值）m，使得……成立。」
其次，泰勒公式常見的可分為兩類，區分標準主要體現在餘項上。按餘項分類，泰勒公式分兩種：一種是帶有拉格朗日型餘項的，這一類的表述中有「在某區間上存在某值使得某式成立」的含義，所以屬於泰勒中值定理。
而另一種（帶有佩亞諾餘項的），最後一項僅僅用等價無窮小代替了，不能算是中值定理。
（說的比較零碎，希望能幫到你！！！）
10樓：匿名使用者
泰勒公式的推導運用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n階式，並使誤差項rn(x)為(x-x0)^n的高階無窮小，就要用柯西中值定理證明餘項rn(x)是存在的，而且是可求出來的。在所給出的式中，rn(x)被寫在最後一項，把前面的n個含(x-x0)的代數式以及f(x0)都減到f(x)的一邊,就得到了rn(x)的表示式，因為題設f(x)有n+1階導數，且(x-x0)^n的係數由f(x)的前n階導數給出，自然有rn(x0)=0，rn在x0點的前n階導數都為零，第n+1階導數時，(x-x0)^n求導後全部導成常數零，等號這邊只剩了n+1階可導的f(x)。即你第一處紅筆畫線處成立。
這樣在n次使用柯西中值定理後，未知的rn(x)的n+1階導數可由f(x)的n+1階導數所替換。rn(x)被精確表示。第二。
泰勒是在某點對f(x)進行，從而估計這一點附近的f(x)的值，使e^x這樣無法求值的函式可求。所以x是在乙個小區間(x0附近)來取值的，因此f n+1(x)有界，可設為m 。這樣就可以對所造成的誤差作最壞的估計，從而保證估值的精確。
11樓：旋轉在雪中
泰勒公式只是展開到n項，後面因為太小了可以忽略不計，所以寫成餘項形式。和中值定理的關係是為了要找到f(x)的n階式，並使誤差項rn(x)為(x-x0)^n的高階無窮小，要證明餘項rn(x)是存在的，而且是可求出來的。
數學中，泰勒公式是乙個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建乙個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在2023年的一封信裡首次敘述了這個公式，儘管2023年詹姆斯·格雷高里已經發現了它的特例。拉格朗日在2023年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。
12樓：王雨旋岑化
泰勒中值定理：
若函式f(x)在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為乙個關於（x-x。)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。
)+f''(x。)/2!*(x-x。
)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。
)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。
)^n+rn(x)
其中rn(x)=【f(n+1)(ξ)/(n+1)!】*(x-x。)^(n+1)，這裡ξ在x和x。之間
麥克勞林公式
若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為乙個關於x多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+【f''(0)/2!】x^2,+【f'''(0)/3!】x^3+……+【f(n)(0)/n!】x^n+rn
其中rn=【f(n+1)(θx)/(n+1)!】x^(n+1),這裡0<θ<1。
泰勒公式的唯一性怎麼應用， 求助 關於泰勒公式的唯一性
泰勒公式 編輯 泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函式在某點周圍的情況。比如說，指數函式ex在x 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示 稱為指數函式在0處的n階泰勒公式。這個公式只對0附近的x有用，x離0越遠，這個公式就越不準確。實際函式值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。對於一般的函式，泰勒公式...
為什麼證明極限的唯一性的時候，要取A
a 具有任意 性，可以無止境的更改 修正。b 由於 具有任意性，由 決定的 n 也就有了任意性 一方面，將 n 任意地放大後，依然還是 n 另一方面，將 任意縮小後算出 n，就更符合要求。用反證法證明極限的唯一性時，為什麼取 b a 2 具體原因如下 證明如下 假設存在a，b兩個數都是函式f x 當...
怎樣證明收斂數列的唯一性,如何證明收斂數列的極限是唯一的？
採用反證法。假設乙個數列收斂於兩個不同的實數a和b。然後按照 n定義把極限過程描述出來。最後歸謬。自己嘗試一下，需要詳細過程的話可以追問。如果收斂不唯一，數列就不收斂了。這個證明教材上有的,一般有兩種證法,一是反證法,一是同一法,僅證後一種 已知liman a,若還有 liman b.則對任意 0,...