1樓：匿名使用者
泰勒公式[編輯]
泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函式在某點周圍的情況。比如說，指數函式ex在x= 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示：
稱為指數函式在0處的n階泰勒公式。這個公式只對0附近的x有用，x離0越遠，這個公式就越不準確。實際函式值和多項式的偏差稱為泰勒公式的餘項。
對於一般的函式，泰勒公式的係數的選擇依賴於函式在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函式在一點附近的最佳線性近似：，其中是h的高階無窮小。
也就是說，或。
注意到和在a處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函式，如果乙個多項式在a處的前n次導數值都與函式在a處的前n次導數值重合，那麼這個多項式應該能很好地近似描述函式在a附近的情況。以下定理說明這是正確的：
定理：設n是乙個正整數。如果函式f是區間[a, b] 上的n階連續可微函式，並且在區間[a, b) 上n+1 次可導，那麼對於[a, b) 上的任意x，都有：[2]
其中的多項式稱為函式在a處的泰勒式，剩餘的是泰勒公式的餘項，是的高階無窮小。的表達形式有若干種，分別以不同的數學家命名。
帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式說明了多項式和函式的接近程度：
也就是說，當x無限趨近a時，餘項將會是的高階無窮小，或者說多項式和函式的誤差將遠小於[3]。這個結論可以由下面更強的結論推出。
帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣：
即，其中[4]。
帶有積分型餘項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣[5]：
餘項估計[編輯]
拉格朗日型餘項或積分型餘項可以幫助估計泰勒式和函式在一定區間之內的誤差。設函式在區間[a r, a+ r]上n次連續可微並且在區間(a r, a+ r)上n+ 1次可導。如果存在正實數mn使得區間(a r, a+ r)裡的任意x都有 ，那麼：
其中。這個上界估計對區間(a r, a+ r)裡的任意x都成立，是乙個一致估計。
如果當n趨向於無窮大時，還有，那麼可以推出 ，f是區間(a r, a+ r)上解析函式。f在區間(a r, a+ r)上任一點的值都等於在這一點的泰勒式的極限。
多元泰勒公式[編輯]
對於多元函式，也有類似的泰勒公式。設b(a, r) 是歐幾里得空間rn中的開 球， 是定義在b(a, r) 的閉包上的實值函式，並在每一點都存在所有的n+1 次偏導數。這時的泰勒公式為：
對所有，
其中的 α 是多重指標。
其中的餘項也滿足不等式：
對所有滿足 |α| = n+ 1的
2樓：笑書神俠客
求高階導數會用到！抽象，具體，兩相比較可求出對應高階導數！
【求助】關於泰勒公式的唯一性
3樓：匿名使用者
看下面的例題抄嘛，不是還可襲以通過四則運算和換元法得出近似表示式麼，這樣得出來的和你直接通過泰勒公式後得到的結果是一樣的，所以說只要表示式符合這個形式，那麼它就是泰勒公式。也就是不可能得到除了泰勒公式的係數之外的另一組係數a0、a1、……an，使式子成立
4樓：匿名使用者
啊~，不好意思，呵呵，看書不仔細目前在概念性質階段，看到方法兩個字的，我都直接跳過了，等下一輪結合做題搞
請教泰勒公式的唯一性怎麼理解？
5樓：匿名使用者
應該可以吧。微分形式不變性嘛。對某乙個函式而言，其導函式如果存在，那就是唯一的。
什麼是泰勒公式的唯一性？ 如圖 題目解答的第二步看不懂 求詳細解答過程
6樓：墨汁諾
一、若x趨於x0時有極限limf(x)=a，則此極限過程中f(x)可表示為f(x)=a+o(1)，其中o(1)表示無窮小，這是函式極限與無窮小的關係，可以用定義證明，證明過程教材上都有。本題中前面已求出x趨於0時limf(x)/x^n=4，故利用此關係就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。
而f(x)在x=0處的n階泰勒公式為f(x)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2!+...+f'(n)(0)/n!
+o(x^n)，正是由於泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0處的泰勒公式，將兩式中次數相同的項進行比較，就可以得出前n-1階導數都等於0，且f'(n)/n!=4。
二、可這樣理解：
設 f(x) = ∫<0, arcsinx> [1-cos(t^2)]dt/t
則 f'(x) = [1/√(1-x^2)] / arcsinx
~ (1/2)(arcsinx)^4 / arcsinx ~ (1/2)x^3， 是 x 的 3 階無窮小，
f(x) 是 x 的 4 階無窮小。
什麼叫泰勒公式的唯一性定理
7樓：風殘月吖
1.x=x0時討論taylor，意義是不大的。
上述證明中x是乙個變數，taylor公式是乙個函式，而不是乙個定數，所以第乙個問題不是「乙個真正的問題」。
如果非要問f(x)在x0處的taylor式，那就是f(x0)嘛，當然是唯一的
2.第二問也「問得有問題」
關鍵在於你對符號o（）的理解，小o意指高階無窮小量，它不是乙個具體的數，也不是乙個具體函式，而是代指一系列的函式（只要是高階無窮小），所以o[(x-x0)^n]不等於o[(x-x0)^n],它是動態的，對於它只能做極限運算，常規的移項、消去、合併、加減、比較對o[(x-x0)^n]都沒有意義。
3.lagrange餘項是peano餘項的細化，對peano型taylor公式
得到的唯一性定理當然適用於lagrange
泰勒公式有什麼實際性的應用？這樣有什麼意義
8樓：塵埃之里
泰勒公式的應用一般有三個方面：
1、利用泰勒式做代換求函式的極限.
這一點應用最廣泛!一些等價無窮小也可以使用泰勒公式求出.
2、利用泰勒式證明一些等式或者不等式.
這一點應用的也非常多,在很多大型證明題中都使用過.泰勒公式可以靈活選擇在某點,效果也很好.
3、應用拉格朗日餘項,可以估值,求近似值.
當然還有挺多,你看看這篇文章吧,泰勒公式的應用講的非常全面,這裡地方太小,也無法全面描述：
泰勒公式有什麼實際性的應用
9樓：冰霜劍歌v達爾
taylor在物理學中太有用了.簡諧振動對應的勢能具有x^2的形式,並且能在數學上精確求解.為了處理一般的情況,物理學首先關注平衡狀態,可以認為是「不動」的情況.
為了達到「動」的效果,會給平衡態加上乙個微擾,使物體振動.在這種情況下,勢場往往是複雜的,因此振動的具體形式很難求解.這時,taylor就開始發揮威力了.
理論力學中的小振動理論告訴我們,在平衡態附近將勢能做taylor為x的冪級數形式,零次項可取為0,一次項由於平衡態對應的極大/極小值也為0,從二次項開始不為零.如果精確到二級近似,則勢能的形式與簡諧運動完全相同,因此很容易求解.這種處理方法在量子力學、固體物理中有著廣泛應用.
反思一下這麼處理的原因:首先,x^2形式的勢能對應於簡諧運動,能精確求解;其次,taylor級數有較好的近似,x^2之後的項在一定條件下可以忽略.這保證了解的精確性.
除了taylor級數,經常用到的還有fourier級數和legendre多項式.原因也和上面提到的類似.
泰勒公式的實際應用有哪些？
10樓：匿名使用者
如果你是做管理類應用軟體的,那麼泰勒公式用處不大,我到現在還沒有用過一次,因為即使有需要用的地方,開發工具中提供的方法和函式庫已經足夠用了.
如果你是做工程類軟體的,那麼就有用了,因為有些函式的值沒有辦法及直接計算出來的,只能用數值方法,這時候就極有可能用到.
如果你是做開發工具的,那就必須用了.因為計算機的cpu不會直接計算函式值,只會做加減乘除.泰勒公式的作用就是把各種函式數值的運算轉化成加減乘除運算.比如sin(x).
微積分泰勒公式到底怎麼運用。taylor's theorem 10
什麼叫泰勒公式的唯一性定理,什麼是泰勒公式的唯一性？如圖題目解答的第二步看不懂求詳細解答過程
1.x x0時討論taylor，意義是不大的。上述證明中x是乙個變數，taylor公式是乙個函式，而不是乙個定數，所以第乙個問題不是 乙個真正的問題 如果非要問f x 在x0處的taylor式，那就是f x0 嘛，當然是唯一的 2.第二問也 問得有問題 關鍵在於你對符號o 的理解，小o意指高階無窮小...
為什麼證明極限的唯一性的時候，要取A
a 具有任意 性，可以無止境的更改 修正。b 由於 具有任意性，由 決定的 n 也就有了任意性 一方面，將 n 任意地放大後，依然還是 n 另一方面，將 任意縮小後算出 n，就更符合要求。用反證法證明極限的唯一性時，為什麼取 b a 2 具體原因如下 證明如下 假設存在a，b兩個數都是函式f x 當...
怎樣證明收斂數列的唯一性,如何證明收斂數列的極限是唯一的？
採用反證法。假設乙個數列收斂於兩個不同的實數a和b。然後按照 n定義把極限過程描述出來。最後歸謬。自己嘗試一下，需要詳細過程的話可以追問。如果收斂不唯一，數列就不收斂了。這個證明教材上有的,一般有兩種證法,一是反證法,一是同一法,僅證後一種 已知liman a,若還有 liman b.則對任意 0,...