1樓：匿名使用者
解:由lim(x→0)y(x)/x=1可得y(0)=0,y'(0)=1
方法一對方程y"-3y'+2y=2e^x,兩邊取laplace變換有
[s^2y(s)-sy(0)-y'(0)]-3[sy(s)-y(0)]+2y(s)=2/(s-1)
即 [s^2y(s)-1]-3sy(s)+2y(s)=2/(s-1)
解得 y(s)=(s+1)/[(s-1)^2(s-2)]=-3/(s-1)-2/(s-1)^2+3/(s-2)
取逆變換有 y(x)=-3e^x-2xe^x+3e^(2x)
方法二對應齊次方程特徵方程為 r^2-3r+2=0 得r1=1,r2=2
對應其次方程通解為 y1=ae^x+be^(2x)
又r=1為一特徵根,可設一特解為y2=cxe^x
代入原方程整理有 -ce^x=2e^x 得 c=-2
所以原方程的通解為y=y1+y2=ae^x+be^(2x)-2xe^x
由條件y(0)=0,y'(0)=1可解得 a=-3,b=3
原方程特解為 y(x)=-3e^x-2xe^x+3e^(2x)
2樓：匿名使用者
y''-3y'+2y=2e^x
y''-3y'+2y=0
特徵方程
r^2-3r+2=0
r1=1,r2=2
y=c1e^x+c2e^(2x)
y''-3y'+2y=2e^x
設特解y=c(x)e^x
y'=c'(x)e^x+c(x)e^x
y''=c''(x)e^x+2c'(x)e^x+ce^xc''+2c'-3c'=2
c''-c'=2
c''=c'+2
c'+2=u c''=u'
u'=u
du/dx=u
lnu=dx
u=c0e^x
c'+2=c0e^x
c'=c0e^x-2
c=c0e^x-2x+c1
特解y=(c0e^x-2x+c1)*e^x=c0e^2x-2xe^x+c1e^x
y''-3y'+2y=2e^x
通解y=c1e^x+c2e^(2x) - 2xe^x
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我的一點理解，供你參考 想控制乙個變數x，當它偏離目標值a時候，你要給它乙個力f x 這個力會給x乙個變化率dx dt，於是有 dx dt f x 這樣乙個自治微分方程。乙個好的控制系統，就是給出了乙個合適的f，使得變數x受到擾動偏離目標值a時，會按照此方程的解軌跡自動回覆到a。例如用彈簧將乙個小球...