1樓：我愛小調
⑴從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力；
⑵限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞（特別是邏輯關聯詞和量詞）準確理解；
⑶計算手段簡單，與舊知識聯絡少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
⑷計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，並具有較強的分析能力。 【例1】 從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有多少個？
分析：首先要把複雜的生活背景或其它數學背景轉化為乙個明確的排列組合問題。
設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c決定，
又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，a（10,2）*2=90*2，因而本題為180。
【例2】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從m到n有多少種不同的走法?
分析：對實際背景的分析可以逐層深入：
（一）從m到n必須向上走三步，向右走五步，共走八步；
（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；
（三）事實上，當把向上的步驟決定後，剩下的步驟只能向右；
從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數。
∴ 本題答案為：c（8,3）=56。 分析是分類還是分步，是排列還是組合
注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。
【例3】在一塊併排的10壟田地中，選擇二壟分別種植a，b兩種作物，每種種植一壟，為有利於作物生長，要求a，b兩種作物的間隔不少於6壟，不同的選法共有多少種？
分析：條件中「要求a、b兩種作物的間隔不少於6壟」這個條件不容易用乙個包含排列數，組合數的式子表示，因而採取分類的方法。
第一類：a在第一壟，b有3種選擇；
第二類：a在第二壟，b有2種選擇；
第三類：a在第三壟，b有1種選擇，
同理a、b位置互換 ，共12種。
【例4】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？
（a)240 (b)180 (c)120 (d)60
分析：顯然本題應分步解決。
（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；
（二）從剩下的十隻手套中任選乙隻，有10種方法。
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八隻手套中任選乙隻，有8種方法；
（四）由於選取與順序無關，因（二）（三）中的選法重複一次，因而共240種。
或分步⑴從6雙中選出一雙同色的手套，有c（6,1）=6種方法
⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有c（5,2）=10種方法
⑶從兩雙中手套中分別拿兩隻手套，有c（2,1）×c（2,1）=4種方法。
同樣得出共⑴×⑵×⑶=240種。
【例5】．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每乙個人都比他同列的身後的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關係，共有三縱列，從而有c（6,2）×c（4,2）×c（2,2）=90種。
【例6】在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?
分析：採用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前後統一。
以兩個全能的工人為分類的物件，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。
第一類：這兩個人都去當鉗工，c（2,2）×c（5,2）×c（4,4）=10種；
第二類：這兩個人都去當車工，c（5,4）×c（2,2）×c（4,2）=30種；
第三類：這兩人既不去當鉗工，也不去當車工c（5,4）×c（4,4）=5種。
第四類：這兩個人乙個去當鉗工、乙個去當車工，c（2,1）×c（5,3）×c（4,3）=80種；
第五類：這兩個人乙個去當鉗工、另乙個不去當車工，c（2,1）×c（5,3）×c（4,4）=20種；
第六類：這兩個人乙個去當車工、另乙個不去當鉗工，c（5,4）×c（2,1）×c（4,3）=40種；
因而共有185種。
【例7】現有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那麼從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數?
分析：有同學認為只要把0，1，3，5，7，9的排法數乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數含0，含9，有32種方法；
抽出的三數含0不含9，有24種方法；
抽出的三數含9不含0，有72種方法；
抽出的三數不含9也不含0，有24種方法。
因此共有32+24+72+24=152種方法。
【例8】停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法有多少種?
分析：把空車位看成乙個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有a（9,9）=362880種停車方法。 特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮。
【例9】六人站成一排，求
⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數
⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數
分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數
第一步：排出首位和末尾、因為甲乙不在首位和末尾，那麼首位和末尾實在其它四位數選出兩位進行排列、一共有a（4,2）=12種；
第二步：由於六個元素中已經有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進行順序排列，
共a（4,4）=24種；
根據乘法原理得即不再排頭也不在排尾數共12×24=288種。
⑵第一類：甲在排尾，乙在排頭，有a（4,4）種方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3×a（4,4）種方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3×a（4,4）種方法。
第四類：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有6×a（4,4）種方法（排除相鄰）。
共a（4,4）+3×a（4,4）+3×a（4,4）+6×a（4,4）=312種。
【例10】對某件產品的6件不同**和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，並且是最後乙個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測試的有c（4,1）種可能；
第二步：前四次有一件**有c（6,1）中可能。
第三步：前四次有a（4,4）種可能。
∴ 共有576種可能。 【例11】8人排成一隊
⑴甲乙必須相鄰
⑵甲乙不相鄰
⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰
⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 **（甲乙可交換） 和7人排列a（7,7）×a（2，2）
⑵甲乙不相鄰，a（8,8）-a（7,7）×2。或a（6,6）×a(7,2)
⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰a（6,6）×2×2
甲乙必須相鄰且與丙不相鄰a（7,7）×2-a（6,6）×2×2
⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰a（6,6）×2×2
⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，a（8,8）-a（7,7）×2×2+a（6,6）×2×2
【例12】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況?
分析：∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是乙個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即a（5,2）。
【例13】 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三隻燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩隻或三隻，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種?
分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。∴ 共c（6,3）=20種方法。
方法二：
把其中的3隻燈關掉總情況有c（8，3)種
關掉相鄰的三只有c（6，1)種
關掉相鄰的兩隻有2*c（7，2)-12種 所以滿足條件的關燈方法有: c（8，3)-c（6，1)-[2*c（7，2)-12] =56-6-(42-12) =20種 ⑴排除法
【例14】三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以採用間接法。
所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數，
∴ 共76種。
【例15】正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，
∴ 共c（8,4）-12=70-12=58個。
【例16】1，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數的底數和真數，可組成多少個不同數值的對數?
分析：由於底數不能為1。
⑴當1選上時，1必為真數，∴ 有一種情況。
⑵當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數，真數，共a（8,2）=56，其中log2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.
因而一共有56-4+1=53個。
【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的後面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有a(6，6)/2=360種。
（二）先考慮六人全排列a(6,6)種；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重複了a(3,3)種， ∴ 有a(6，6)/a(3,3)=120種。
【例18】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：（一）首先不考慮男生的站位要求，共a（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重複了a(5,5)次。因而有a(9,9,)/a(5,5,)=9×8×7×6=3024種
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。
（二）按照插空的方式進行思考。
第一步：4個女生先在9個位置中選擇4個，為a(9,4)種方式；
第二步：男生站剩下的位置，因為必須從高到矮的順序，沒有規定方向，所以有2種；
綜上，總的站法數有a(9,4)×2=6048種。
【例19】 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認為三個紅球互不相同，共a（5,5）=120種方法。
而由於三個紅球所佔位置相同的情況下，共a（3,3）=6變化，因而共a（5,5）/a（3,3）=20種。
公式p是指排列，從n個元素取r個進行排列（即排序）。（p是舊用法，教材上多用a，arrangement)
公式c是指組合，從n個元素取r個，不進行排列（即不排序）。 【例20】10個名額分配到八個班，每班至少乙個名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當於一種分配方式。因而共36種。
所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充乙個階段（排序）可轉化為排列問題。
【例21】用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重複數字的四位數，
⑴可組成多少個不同的四位數?
⑵可組成多少個不同的四位偶數
⑶可組成多少個能被3整除的四位數?
分析：⑴有a（6,4）-a（5,3）=300個。
⑵分為兩類：0在末位，則有a（5,3）=60種：0不在末位，則有c（2,1）×a（5,3）-c（2,1）×a（4,2）=96種。
∴ 共60+96=156種。
⑶先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數一定可以被3整除，再排列，有：4×[a（4,4）-a（3,3）]+a（4,4）=96種。 【例22】 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有多少種？
分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有c（5,3）=10種分組方法。可以看成4個板三個板不空的隔板法。
（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有a（4,4）=24種，
由（一）（二）可知，共10×24=240種。 【例23】某區有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）
⑴圖中共有多少個矩形？
⑵從a點到b點最近的走法有多少種？
分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線
可組成1個矩形，故可組成矩形c（7,2）·c（5,2）=210個
⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從a到b最短的走法，無論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有c（10,6）=c（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法。 排列、組合、二項式定理公式口訣：
加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。
兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。
排列組合在一起，先選後排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。
不重不漏多思考，**插空是技巧。排列組合恆等式，定義證明建模試。
關於二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函式賦值變換式。
排列組合問題，排列組合的問題
這麼理解把三男先綁在一起把三女也綁在一起這樣，就有2種組合然後三男，有p33排列方式即 3 2 1 6種三女也是一樣所以，最後答案為 2 6 6 72種 小豬儲錢罐有相同的100個5角硬幣，相同的80個1元硬幣，從中選出8個硬幣有9種方式 8個1元硬幣,1個5角7個1元,2個5角6個1元3個5角5個...
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