1樓：巴山蜀水
解： 分享一種解法。設x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴π/4≤θ≤3π/4，0≤ρ≤2sinθ。
∴原式=∫(π/4,3π/4)sinθdθ∫(0,2sinθ)ρdρ=2∫(π/4,3π/4)sin³θdθ=-2∫(π/4,3π/4)(1-cos²θ）d(cosθ)=(5√2)/3。
供參考。
為什麼二重積分可以算面積
2樓：秘金生閭春
為什麼二重積分算面積是因為：二重積分的幾何意義是當z值為正時的曲頂柱體的體積，微元相當於投影面積。
設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域δδi(i=1,2,3,…,n)，並以δδi表示第i個子域的面積.在δδi上任取一點(ξi,ηi),作和limn→∞
(n/i=1
σ(ξi,ηi)δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域d上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ
→0（σf(ξi,ηi)δδi）
這時,稱f(x,y)在d上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表示式,dδ稱為面積元素,
d稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.
同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。
性質1：（積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即：∫∫
3樓：獨吟獨賞獨步
因為二重積分定義的幾何意義就是z值為正時曲頂柱體的體積，微元相當於 投影面積，被積函式相當於高。那麼如果裡面的被積函式值為1，就說明這個柱體的高被視為很小的定值，它相當於乙個平面薄板，這個時候二重積分算的就是這個平面薄板的面積，也相當於它的體積。
4樓：張旺山
高很小值不代表就可以取1，這裡的1是為了避開高的存在，就像可以用三重積分求體積一樣，本來三重積分是用來求質量的，但是被積函式為1的時候其實避開了密度，體積乘以密度1獲得的質量的數值和體積是一樣的。放在二重積分之下，就是讓積域乘以高度1，獲得與積域面積數值相同的體積，儘管單位不一樣，可是數值上和積域面積相同。
二重積分可以計算面積嗎？ 它不是計算體積的嗎？
5樓：康伯偉
一樓的說法不對！
一重積分，可以計算長度，可以計算面積，也可以計算體積(最典型的是旋轉體的體積)；
二重積分，可以計算面積，也可以計算體積。
三重積分，可以計算體積。
具體如何，一看被積函式，二看積分限怎麼確定。
方法是活的，關鍵在於如何運用。
6樓：需字
§9.3 二重積分的應用
定積分應用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件：
1、所要計算的某個量 對於閉區域 具有可加性(即:當閉區域 分成許多小閉區域 時, 所求量 相應地分成許多部分量 ,且 )。
2、在 內任取乙個直徑充分小的小閉區域 時, 相應的部分量 可近似地表示為 , 其中 , 稱 為所求量 的元素, 並記作 。
(注: 的選擇標準為: 是 直徑趨於零時較 更高階的無窮小量)
3、所求量 可表示成積分形式
一、曲面的面積
設曲面 由方程 給出, 為曲面 在 面上的投影區域,函式 在 上具有連續偏導數 和 ,現計算曲面的面積 。
在閉區域 上任取一直徑很小的閉區域 (它的面積也記作 ),在 內取一點 ,對應著曲面 上一點 ,曲面 在點 處的切平面設為 。 以小區域 的邊界為準線作母線平行於 軸的柱面, 該柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由於 的直徑很小,那一小片平面面積近似地等於那一小片曲面面積。
曲面 在點 處的法線向量( 指向朝上的那個 )為
它與 軸正向所成夾角 的方向余弦為
而所以這就是曲面 的面積元素, 故
故【例1】求球面 含在柱面 ( ) 內部的面積。
解:所求曲面在 面的投影區域
曲面方程應取為 , 則
,曲面在 面上的投影區域 為
據曲面的對稱性,有
若曲面的方程為 或 ,可分別將曲面投影到 面或 面,設所得到的投影區域分別為 或 ,類似地有
或二、平面薄片的重心
1、平面上的質點系的重心
其質點系的重心座標為
,2、平面薄片的重心
設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,如何確定該薄片的重心座標 。
這就是力矩元素,於是
又平面薄片的總質量
從而,薄片的重心座標為
特別地,如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則
十分顯然, 這時薄片的重心完全由閉區域的形狀所決定, 因此, 習慣上將均勻薄片的重心稱之為該平面薄片所佔平面圖形的形心。
【例2】設薄片所佔的閉區域 為介於兩個圓 ,
( )之間的閉區域,且面密度均勻,求此均勻薄片的重心(形心)。
解: 由 的對稱性可知:
而 故
三、平面薄片的轉動慣量
1、平面質點系對座標軸的轉動慣量
設平面上有 個質點, 它們分別位於點 處, 質量分別為 。
設質點系對於 軸以及對於 軸的轉動慣量依次為
2、平面薄片對於座標軸的轉動慣量
設有一薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 , 假定 在 上連續。 現要求該薄片對於 軸、 軸的轉動慣量 , 。
與平面薄片對座標軸的力矩相類似,轉動慣量元素為
【例3】求由拋物線 及直線 所圍成的均勻薄片(面密度為常數 )對於直線 的轉動慣量。
解: 轉動慣量元素為
四、平面薄片對質點的引力
設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,現計算該薄片對位於 軸上點 處的單位質量質點的引力。
於是,薄片對質點的引力 在三個座標軸上的分力 的力元素為故
7樓：匿名使用者
二重積分也可以計算體積的
8樓：匿名使用者
一樓《angel說愛我》應該是初學者，還沒有搞懂積分是怎麼回事。
二樓《nbsuns》的說法，可以接受。
三樓《康伯偉》說的太棒了！
鑑定完畢！
9樓：angel說愛我
二重積分就是計算面積的 不是計算體積的
三重積分是計算體積的
二重積分計算出來的是體積還是面積
10樓：木沉
一般說來，二重積分計算的是面積。
但也可以用來計算體積。
另外，有些積分你怎麼說他是面積還是體積呢？
就像乙個數1，可以是1釐公尺，這是長度。可以是1乘以1，成了面積。也可以是1乘1乘1，這就成體積了。要靈活會變通啊！
二重積分計算，二重積分怎麼計算？
拿到二bai重積分的題 目，分du以下幾步解題 第一步，畫zhi出積分區域dao，此題中是乙個圓的內內部。容 第二步，選取方法，可以直接化成累次積分，也可以進行換元，極座標代換，此題中利用極座標代換。第三步，求出累次積分，需要注意的是雅克比行列式不能漏了。第四步，得出結論。因為二重積分定義的幾何意義...
二重積分怎麼算面積啊？怎麼區分二重積分算的是面積還是體積？謝謝謝謝
如果被積函式是1，就可以理解為面積，否則就是體積 二重積分既能算面積又能求體積？那我怎麼知道求的是面積還是體積？與三重積分體積有什麼不同？單從幾何意義上來說，二重積分算的是體積 它的特例，當被積函式為1時，計算結果等效為面積。幾何上的解釋就是，當高為1時，體積和底面積的數值相等。同理，三重積分在被積...
高數，二重積分，高數中二重積分
這是我的理解 二重積分和二次積分的區別 二重積分是有關面積的積分，二次積分是兩次單變數積分。當f x,y 在有界閉區域內連續，那麼二重積分和二次積分相等。對開區域或無界區域這關係不衡成立。可二次積分不一定能二重積分。如對 0,1 0,1 區域，對任意x 0,1 可定義一個對y連續的函式g x,y y...