復變函式ejwt,復變函式，證明函式fzez在整個復平面解析

1樓：匿名使用者

復變數復值函式的簡稱。設a是乙個複數集,如果對a中的任一複數z，通過乙個確定的規則有乙個或若干個複數w與之對應，就說在複數集a上定義了乙個復變函式，記為w=ƒ(z)。這個記號表示,ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。

如果記z=x+iy,w=u+iv,那麼復變函式w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y)；所以乙個復變函式w=ƒ(z)就對應著一對兩個實變數的實值函式。除非有特殊的說明,函式一般指單值函式,即對a中的每一z，有且僅有乙個w與之對應。例如，z2是復平面上的復變函式。

但√z在復平面上並非單值，而是多值函式。對這種多值函式要有特殊的處理方法（見解析開拓、黎曼曲面）。

對於z∈a,ƒ(z)的全體所成的數集稱為a關於ƒ的像，記為ƒ(a)。函式ƒ規定了a與ƒ(a)之間的乙個對映。例如在w=z2的對映下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應；如果ƒ(a)∈a*，稱ƒ把a映入a*。

如果ƒ(a)=a*，則稱ƒ把a映成a*，此時稱a為a*的原像。對於把a映成a*的對映ƒ，如果z1與z2相異必導致ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對一的。在一對一的對映下，對a*上的任一w，a上必有乙個z與之對應，稱此對映為ƒ的反函式，記為

z=ƒ-1(w)

設ƒ(z)是a上的復變函式,α是a中一點。如果對任一正數ε，都有正數δ，當z∈a且|z-α|<δ時,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恆成立，則稱ƒ(z)在α處是連續的。如果在a上處處連續,則稱為a上的連續函式或連續對映。

設ƒ是緊集a上的連續函式，則對任一正數ε，必存在不依賴自變數z的正數δ,當z1，z2∈a且|z1-z2<δ時|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恆成立。這個性質稱為ƒ(z)在a上的一致連續性或均勻連續性。

復變函式，證明函式f（z）=e^z在整個復平面解析

2樓：匿名使用者

e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)，設實部u=e^x cosy,虛部v=e^x siny

∂u/∂x=e^x cosy，∂u/∂y=-e^x siny∂v/∂x=e^x siny,∂v/∂y=e^x cosy四個偏導數均是初等二元函式的組合，所以都連續且柯西黎曼方程

∂u/∂x=∂v/∂y=e^x cosy

∂v/∂x=-∂u/∂y=e^x siny對任意x，y成立，

所以e^z在整個復平面上解析

3樓：拱新蘭孟未

設z=x+iy

f(z)=e^z=e^(x+iy)=e^x·e^(iy)=e^xcosy+ie^xsiny

所以u=e^xcosy,v=e^xsinydu/dx=e^xcosy

du/dy=-e^xsiny

dv/dx=e^xsiny

dv/dy=e^xcosy

由du/dx=dv/dy得e^xcosy=e^xcosy，可知該方程對於x,y∈r都成立

由du/dy=-dv/dx得-e^xsiny=-e^xsiny，可知該方程對於x,y∈r都成立

即對於z∈c,f(z)=e^z都滿足柯西黎曼條件所以f(z)=e^z在c上處處可導，故在c上處處解析特別地，f(z)=e^z在z=0處解析.

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