1樓：匿名使用者
設s=1^2+2^2+.+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1.....
...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n個式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+.+n] +n
所以s= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
連續自然數的平方和公式是誰發明的?
2樓：匿名使用者
李善蘭在他所著的《方圓闡幽》一書中，發明了尖錐術，具有解析幾何的啟蒙思想，得出了一些重要的積分公式，創立了二次平方根的冪級數式，各種三角函式，反三角函式和對數函式的冪級數式，這是李善蘭也是19世紀中國數學界最重大的成就。
李善蘭的尖錐理論，如果用最通俗的語言來表述，就是他首先把乙個自然數n用乙個平尖錐的圖形來表示，如果這個數是乙個平方數，就用乙個立尖錐來表示，如果這個數是乙個立方數就用乙個三乘尖錐來表示，但是，在表示乘方數的時候，尖錐的上面就由平體變成了凹形，乘方越多，凹的就越厲害。
然後，李善蘭把這個尖錐體的乘方數xn用線段來表示，把這個尖錐體迭積成n乘的尖錐面。這種尖錐面由相互垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線組成。乘數愈多，也就是說冪次愈高，尖錐曲線的凹就愈甚。
李善蘭在《方圓闡微》中，還採用了一種叫做「分離元數」的方法，歸納出乙個二項平方根式，然後在四分之一單位圓內應用尖錐術就可以計算出乙個方內圓外尖錐的合積，從而獲得圓周率π的無窮級數值。李善蘭創立的尖錐面，是一種處理代數問題的幾何模型。它由互相垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線組成。
並且在考慮尖錐合積的問題時，也是使每個尖錐有共同方向的底線和高線。這樣的底線和高線具有平面直角座標系中的橫、縱兩個座標的作用。
而且，這種尖錐麵是由乘方數漸增漸迭而得。因此，尖錐曲線是由隨同乘方數一起漸增漸迭的底線和高線所確定的點變動而成的軌跡。由於李善蘭把每一條尖錐曲線看作是無窮冪級數中相應的項，這實際上就給出了這些尖錐曲線的代數表示數。
李善蘭的尖錐求積術，實質上就是近代數學中的冪函式的定積分公式和逐項積分法則。
自然數平方和公式是如何推導出來的？
3樓：匿名使用者
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
自然數平方和公式如何推導
4樓：花魂寒月
設s=1^2 2^2 .... n^2
(n 1)^3-n^3 = 3n^2 3n 1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2 3(n-1) 1...
.. ...
2^3-1^3 = 3*1^2 3*1 1把上面n個式子相加得：(n 1)^3-1 = 3* [1^2 2^2 ... n^2] 3*[1 2 .... n] n
所以s= (1/3)*[(n 1)^3-1-n-(1/2)*n(n 1)] = (1/6)n(n 1)(2n 1)
自然數平方數列和立方數列求和公式怎麼推導
5樓：夢色十年
平方和的推導利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
記sn=1²+2²+....+n²， tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
對①式從1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3sn+3tn+n
這就得到了sn=n(n+1)(2n+1)/6
類似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中間步，將右邊第一項移到左邊得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
兩邊分別相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
擴充套件資料：
常見數列求和的方法：
1、公式法：
等差數列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式 、分別是等差數列和等比數列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) cn=anbn tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qtn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) tn=上述式子/(1-q)
3、裂項法
適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然後累加時抵消中間的許多項。
6樓：木沐淋
(1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
推導過程如下：
一、 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...
+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明如下：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
故：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明有上界 自然數的倒數的平方和
所有數的倒數平方和 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 1 1 2 1 2 3 1 n 1 n 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n 2 1 n 2 自然數倒數的平方和 30 答案等於 pi 2 6 非常神奇。用高中方法求自然數倒數的平方和 10 1 1 4 1 9...
最先發明電流磁效應的科學家是誰,最先發現電流磁效應的物理學家是A奧斯特B法拉第C安培D歐
丹麥物理學家奧斯特 h c oersted，1777 1851 1820年4月的一天晚上，奧斯特在為精通哲學及具備相當物理知識的學者講課時，突然來了 靈感 在講課結束時說 讓我把通電導線與磁針平行放置來試試看！於是，他在乙個小伽伐尼電池的兩極之間接上一根很細的鉑絲，在鉑絲正下方放置一枚磁針，然後接通...
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