1樓：滑恬然
證明：∵n5-5n3+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．
∴對一切大於2的正整數n，數n5-5n3+4n都含有公約數1×2×3×4×5=120，
2樓：匿名使用者
解： ∵ n5-5n3+4n
=n(n的4次方-5n²+4)
=n(n²-4)(n²-1)
大於2的最小整數是3
∴ 當n=3時 n(n²-4)(n²-1)=3×5×8=120當n=4時 原式=4×12×15=120×6設n=k時能被120 整除 ak=k(k²-4)(k²-1)當n=k+1時
a(k+1)=(k+1)[(k+1)²-4][(k+1)²-1]=(k+1)(k+3)(k-1)(k+2)k=k(k²-1)(k+2)(k+3)
=k(k²-1)(k²+5k+6)
=k(k²-1)[k²-4+5k+10]
=k(k²-4)(k²-1)+5k(k²-1)(k+2)可見k(k²-4)(k²-1)能被120整除，5k(k²-1)(k+2)當k=3時為5×3×4×8=480也能被120整除
∴n5-5n3+4n能被120整除。
證明：當n為大於2的整數時,n^5-5n^3+4n能被120整除．
3樓：匿名使用者
當n大於2時
n-2，n-1，n,n+1，n+2則為5個連續自然數根據抽屜原理,5個連續自然數中,必然有乙個數為2的整數倍,乙個數為3的整數倍,乙個數為4的整數倍,乙個數為5的整數倍
因此他們的積也必定能被2x3x4x5=120整除
4樓：我愛
n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-4)(n^2-1)=(n+2)(n+1)n(n-2)(n-1)
n為大於2的整數，所以在n+2，n+1，n，n-1，n-2這五個數里一定有5，4，3這三個數的倍數或它本身，至於這個怎麼證，我就知道數學歸納法，不知lz學了沒有。
5樓：
高中競賽數論裡面有個定理，名字忘了，內容是：連續n個自然數的乘積必然能被n!整除，你可以在網上搜一下相關證明
就這個問題而言，你可以這樣想，連續5個自然數，其中必然有乙個是5的倍數，連續2個自然數，其中必然有乙個是偶數（2的倍數），所以整個式子包含因數5和2，即包含因數10
6樓：匿名使用者
(n+2)(n+1)n(n-2)(n-1)=5！*(n+2)！/5！(n-3)！
(n+2)！/5！(n-3)！=c(5,n+2)整數。
：(n+2)(n+1)n(n-2)(n-1)被120整除
7樓：背泳的魚
二項式定理???已經大學了....高中比較偏的知識都忘了...
證明：當n為大於2的整數時，n^5-5n^3+4n能被120整除．
8樓：
n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)五個連續的整數必有乙個能被5整除，所以上式能被5整除。
五個連續的整數至少有乙個能被3整除，所以上式能被3整除。
五個連續的整數至少有乙個能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
綜上所述，原式能被3*5*8=120整除
9樓：匿名使用者
n^5-5n^3+4n
=n[n^4-5n^2+4]
=n[n^2-1][n^2-4]
=n[n+1][n-1][n+2][n-2]=[n-2][n-1]n[n+1][n+2]由此可見，上式是乙個連續五個自然數之積。五個連續自然數中必有4、5、6的倍數，那麼他們的積必是4*5*6=120的倍數。
即能被120整除。
10樓：江上魚者
n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-4)(n^2-1)
=n(n+2)(n-2)(n+1)(n-1)是五個連續自然數的積。
這五個自然數中必定有乙個是3的倍數，乙個是4的倍數，乙個是5的倍數；
所以這個數必定能夠被3*4*5=120整除。
11樓：衡秀芳翦午
n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-4)(n^2-1)=(n+2)(n+1)n(n-2)(n-1)
n為大於2的整數，所以在n+2，n+1，n，n-1，n-2這五個數里一定有5，4，3這三個數的倍數或它本身，至於這個怎麼證，我就知道數學歸納法，不知lz學了沒有。
12樓：玉其英侍綾
當n大於2時
n-2，n-1，n,n+1，n+2則為5個連續自然數根據抽屜原理
,5個連續自然數中,必然有乙個數為2的整數倍,乙個數為3的整數倍,乙個數為4的整數倍,乙個數為5的整數倍
因此他們的積也必定能被2x3x4x5=120整除
13樓：元恭碩緞
n^5-5n^3+4n可以分解為（n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)
當n大於2時，上式即為5個連續整數的乘積，而120可分解為2*3*4*5
每兩個數中必然有乙個可以被2整除，每三個數中必有乙個可以被3整除，每四個數中必有乙個可以被4整除，每五個數中必有乙個可以被5整除，所以。五個連續整數相乘必然可以整除2*3*4*5.得證
試證明當n為自然數時，代數式n的五次方-5n的3次方+4n能被120整除
14樓：匿名使用者
n的五次方-5n的3次方+4n
=n(n的4次方-5n的2次方+4)
=n(n²-1)(n²-4）
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)*n*(n+1)(n+2)∵n為自然數
∴(n-2)(n-1)*n*(n+1)(n+2)是5個自然數的積，5個自然數的積一定能被120整除
15樓：匿名使用者
n^5-5n^3+4n=n*(n^2-1)(n^2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
當n=1或2時，上式=0，能被120整除
當n≥3時，上式=5個連續的自然數相乘，這5個數中必有2個能被2整除，1個能被3整除，
1個能被整除，2個能被5整除，
120=2*3*4*5
所以n^5-5n^3+4n能被120整除
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