應用拉格朗日中值定理證明不等式 當0ba時，（a b

3樓：匿名使用者

在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件.

知f'(x)=1/x.

用定理,知存在c: b

使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)即ln(a/b)=(a-b)/c

注意到條件:0

有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b.

即有::(a-b)/a

用拉格朗日中值定理證明不等式(b-a)/b<㏑b/a<(b-a)/a

4樓：

如果a<0,b<0，用-a,-b代替。

如果a>b，可以交換a和b的地位，要證的不等式和a

下面只討論a

(ln x)' = 1/x

由中值定理，存在a

lnb - ln a = (b-a) * (ln c)' = (b-a)/c

由於a

拉格朗日中值定理，當a＞b＞0時，如圖證明

5樓：西域牛仔王

（2）考察函式 f(x)=lnx，它在 [b，a] 上連續，在（b，a）內可導，

因此滿足拉格朗日中值定理，所以存在 ξ∈（b，a）使 f '(ξ) = [f(a)-f(b)] / (a-b)，

也即 1/ξ = (lna-lnb) / (a-b) = ln(a/b) / (a-b)，所以 (a-b)/ξ = ln(a/b)，

由於 b<ξ

也即 (a-b)/a < ln(a-b) < (a-b)/b。

6樓：

過程大致如此，望對你有所幫助。望採納

如何用拉格朗日中值定理證明不等式這個有點不懂，誰

7樓：文化歷史愛好者

先觀察不等式,然後構造乙個合適的函式,再用拉格朗日公式,但要注意區間,說是這麼說但讀者還在這方面多下功夫,找些例題多琢磨琢磨。

舉個例子，利用拉格朗日中值定理證明不等式

當h＞0時,h／（1＋h^2）＜arctan h＜h另f（x）＝arctanx,則f'（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在實數c,使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0） 再此取x0＝0,則f（0）＝0 應用上面的等式,便有arctanx=x/(1+c^2),其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因為x＞0,所以x/(1+x^2)。

用拉格朗日中值定理證明下列不等式 a>b>0,(a-b)/a在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件.

知f'(x)=1/x.

用定理,知存在c: b 使:lna-lnb=(1/c)*(a-b)即ln(a/b)=(a-b)/c

注意到條件:0有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b.

即有::(a-b)/a。

望採納，謝謝。

運用拉格朗日中值定理證明不等式（lnb-lna）/（b-a）>（2a）/（a^2+b^2）

8樓：匿名使用者

證明：構造：f(x)=lnx，其中x∈(a,b)根據拉格朗日中值定理：

(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ又∵ 1/ξ > 1/b

而：2a/(a²+b²)

≤2a/2ab

=1/b

因此：1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)∴(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)

9樓：匿名使用者

取特值。a取1，b取e。

設a>b>0，證明（a-b）/a