1樓：匿名使用者
p(x,y)=x³-3xy² ∂p(x,y)/∂y=-6xy
q(x,y)=y³-3x²y ∂q(x,y)/∂x=-6xy
因此：(x³-3xy²)dx+(y³-3x²y)dy = du(x,y) 是全微分方程。
其通解為：
u(x,y) = ∫(x,x0) p(x,y)dx + ∫(y,y0) q(x0,y)dy
取x0=0，y0=0 ,那麼：
u(x,y) = ∫(x,0) p(x,y)dx + ∫(y,y0) q(0,y)dy
= ∫(x,0) (x³-3xy²)dx + ∫(y,0) y³dy
2樓：匿名使用者
這是通常教材上的公式，選的路徑是a(0 ,0)-b(0,y)-c(x,y).在ab上x=0,積分區間是0到y,代入後就無x.在bc上，y=y,積分區間是0到x,是第乙個積分。
全微分方程通解到底是∫上x 下x0 p（x，y0）dx+∫上y下y0 q（x，y）dy 還是
3樓：數學聯盟小海
這2個都可以，兩者的全微分相同，他們之間只差乙個常數，所以課本和複習全書都是正確的。
求全微分方程的通解
4樓：尹六六老師
看著有點別copy扭，
就是把(0，0)到(x，y)的折線分成兩條，第一條，從(0，y)到(x，y)
就得到第乙個定積分，
第二條，從(0，0)到(0，y)
就得到第二個定積分，
【這條線上，x=0，
代入後dy前面的函式就變成y²了】
5樓：西域牛仔王
^特徵方程 t² - 3t＋2＝
0 的解 t1＝1，t2＝2
齊次微分方程通解是 y＝c1e^x＋專c2e^2x設特屬解 y＝(ax²＋bx)e^x，
y'＝(ax²＋2ax＋bx＋b)e^x，y''＝(ax²＋4ax＋bx＋2a＋2b)e^x代入比較係數，可得
-2a＝1，2a-b＝0，解得 a＝-1/2，b＝-1所以原微分方程通解為
y＝c1e^x＋c2e^3x＋(-1/2 x² - x)e^x
6樓：擲地有聲灰
求微分方程的通解這道題很經典，是一種常用的方法，給你做了一下，但是發不上去**，這樣吧，我把完整的解題過程和一些方法發給你，寫的很詳細，你看看就知道了。
7樓：匿名使用者
^^設解為抄u(x,y),則u關於x的偏導數襲是bai [ log y + xy^2 ]，關於duy的偏導數是 [x/y + x^2y + y cos y]。於zhi是
u =積分[ log y + xy^2 ]dx =x log y+x^2 y^2+g(y)。
對這個u關於y求導，得到dao
g'(y)= y cos y，於是
g(y)=y sin y+cos y.
所以，解為
u(x,y)=x log y + (x^2y^2)/2 +y sin y+ cos y+c.
8樓：匿名使用者
求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解
解：y[ydx+(3x-4y²)dy]=0；消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①；
【由此可知：y=0是方程專的乙個特解】屬
p=y；q=3x-4y²；∂p/∂y=1；∂q/∂x=3；由於(1/p)(∂p/∂y-∂q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=h(y);
因此方程①有積分因子μ：
用y²乘方程①的兩邊得：y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②
此時p=y³；q=3xy²-4y^5；滿足 ∂p/∂y=3y²=∂q/∂x；故②是全微分方程。∴其通解u(x，y):
這也是原方程的通解【取微分後消去y²即得原方程】
9樓：
把x看成y的函式。
y²x'+(3xy-4y³）=0
y=0是一解。
兩邊除以y
yx'+3x-4y²=0
yx'+3x=4y²
齊次型：
yx'+3x=0
yx'=-3x
x'/x=-3/y
lnx=-3lny+c1=ln(c2/y³）x=c2/y³；
變常數：
x'=c2'/y³-3c2/y^回4
代入原方程：
y（c2'/y³-3c2/y^4）+3c2/y³=4y²c2'/y²-3c2/y³+3c2/y³=4y²c2'/y²=4y²
c2'=4y^4
c2=4y^5/5+c3
∴原方程的通答解是：
x=（4y^5/5+c3）/y³
=4y²/5+c3/y³；
以及：y=0
全微分方程求解積分因子，u=u(x+y)
10樓：超級大超越
對於全微分方程實際是要滿足這樣關係的：
這就要涉及解偏微分方程了
請問求解微分方程的通解的時候，1/x 積分時為什麼沒有絕對值了呢？求
11樓：
如果你知道這個通解公式的推導過程，就應該理解為什麼沒有絕對值，因為去掉絕對值後的正負號都合併到任意常數c中去了。
12樓：逍遙額額
我想問下，那個x3次方的絕對值符號是怎麼去掉的呢？謝謝
全微分方程如何求原函式 20
13樓：和與忍
這類微分方程都具有dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy的形式，且滿足p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數的特點。解答過程如下：
先由p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數，得出dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy是乙個全微分方程的結論。接著得出通解是z=從（0,0）到（x，y）第二型曲線積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。
接下來，根據該積分與積分路徑無關（因為p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數），可以選擇從點（0,0）到點（x，y）的特殊路徑積分，而最常選取的是沿折線路徑積分，即先從（0,0）到（0，y）、再從（0，y）到（x，y）的折線或者是先從（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線。最後z=積分結果 就是通解。
例如：閣下這個題，假如選擇（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線積分，則通解是z=（0,0）到（x，0）積分p(x,y)dx+q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。
在第乙個積分裡，y（=0）是常數，所以dy=0，結果成為定積分（從0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +c1.
在第二個積分裡，x一直沒變是常數，所以dx=0，結果成為定積分（從0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c2.
於是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c.
14樓：竹珺宜慶
目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了，文科甚至理科已經無能為力。
首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。
1階微分方程分為3種型別：
型別一：可分離變數的微分方程，它的形式如下：
dx/x=dy/y
總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊，y與dy放到等號另一邊。
這種微分方程是可以直接積分求解的，
∫dx/x
=∫dy/y
=>ln|x|
=ln|y|
+lnc
c是任意常數。永遠要知道的是，微分方程有多少階，就有多少個任意常數。一階微分方程只有乙個任意常數c。
型別二：齊次微分方程
這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。
轉化的方法是設u=y/x，把原式的未知項都變成y/x的形式：（x/y
+y/x)=dy/dx，然後代入u=y/x（注意：y=ux,
因此dy/dx=xdu/dx
+u。這個也要代入），然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。
型別三：一階線性方程
一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]
二階微分方程就更複雜了，3種形式的通解，3種形式的特解，特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項，所以在此不闡述。
15樓：陽浩曠諾禎
這裡涉及的知識比較多，主要思想是這樣的：
1.pdx+qdy如果恰好是某個二元函式的全微分的話，方程的通解就能求出了（此時該方程稱為全微分方程），比如，設
pdx+qdy＝du(x,y)
那麼方程
pdx+qdy=0的通解便為：u(x,y)=c
2.但pdx+qdy不一定恰好是某個函式的全微分，判斷依據是：dp/dy=dq/dx，
即：此式成立（當然在某個區域內），存在u(x,y)，如果此式不成立，則不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情況下，可能可以通過乘以某個函式或式子，使得方程成為全微分方程，比如方程：xdy-ydx=0，通過判斷知道它不是全微分方程，但如果乘以1/x^2,方程變形為：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通過驗證可知它是全微分方程，並且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例這樣，乘上的函式1/x^2便稱為是積分因子了，一般來說，如果微分方程通過乘以某個函式變成了全微分方程，則稱此函式稱為該方程的積分因子。
5.若pdx+qdy＝du(x,y)，則有du/dx=p,du/dy=q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dq/dx
反之亦然，這就是判斷是否為全微分方程的依據。
16樓：小肥仔
計算過程如下：
dx/x=dy/y
總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊，y與dy放到等號另一邊。
這種微分方程是可以直接積分求解的，
∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc，
c是任意常數。永遠要知道的是，微分方程有多少階，就有多少個任意常數。一階微分方程只有乙個任意常數c。
17樓：愛生活_愛聯盟
你這不是全微分方程，這是根據全微分求原函式啊！
全微分方程全部用曲線與路徑無關那個公式求可以不？就是從(0,0)積分到(x,y)的那個求原函式的辦
18樓：夏目真夜
當然是不可以的，除了恰當微分方程之外，其餘形式的非恰當微分方程都需要找出積分因子，才能化為恰當微分方程求解。
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