1樓：韓苗苗
拉格朗日（lagrange）餘項：
拉格朗日餘項實際是泰勒公式展開式與原式之間的乙個誤差值，如果其值為無窮小，則表明公式足夠準確。
證明：根據柯西中值定理：
其中θ1在x和x0之間；繼續使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之間；連續使用n+1次後得到：
其中θ在x和x0之間；同時：
進而：綜上可得：
擴充套件資料泰勒公式的不同餘項表達形式有：
泰勒公式的餘項rn（x）可以寫成以下幾種不同的形式：
1、佩亞諾（peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒公尺爾希-羅什（schlomilch-roche）餘項：
其中θ∈（0,1），p為任意正實數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）
3、拉格朗日（lagrange）餘項：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（cauchy）餘項：
其中θ∈（0,1）。
5、積分餘項：
其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。
2樓：最愛
函式f(x)在開區間（a,b）有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以為乙個關於（x-x.)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!•(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.
)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘.）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.
)=f'(x.)δx）,其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0,所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要乙個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式.設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.
),p'(x.)=f'(x.),p''(x.
)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an.顯然,p(x.)=a0,所以a0=f(x.
)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.
)=2!a2,a2=f''(x.)/2!
……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.
)/n!.至此,多項的各項係數都已求出,得：p(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!•(x-x.)^n.
怎樣理解泰勒公式中的餘項？
3樓：喵喵喵
餘項就是展開式與原函式的誤差，餘項越少，誤差就越小。在一定允許的範圍內，餘項可以忽略不計，即所謂的無窮小。
泰勒公式是乙個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建乙個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
泰勒公式有好幾種餘項：皮亞諾、拉格朗日、柯西、積分餘項等。
1、佩亞諾（peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒公尺爾希-羅什（schlomilch-roche）餘項：
其中θ∈（0,1），p為任意正整數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）
3、拉格朗日（lagrange）餘項：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（cauchy）餘項：
其中θ∈（0,1）。
5、積分餘項：
擴充套件資料
泰勒式的重要性體現在以下五個方面：
1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。
2、乙個解析函式可被延伸為乙個定義在復平面上的乙個開片上的解析函式，並使得復分析這種手法可行。
3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限。
4樓：是你找到了我
1、佩亞諾（peano）餘項：
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒公尺爾希-羅什（schlomilch-roche）餘項：
其中θ∈（0,1），p為任意正整數。（注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項）。
3、拉格朗日（lagrange）餘項：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（cauchy）餘項：
其中θ∈（0,1）。
5、積分餘項：
其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。
擴充套件資料：常用的公式：
函式的麥克勞林指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0處n階連續可導，則下式成立：
其中表示f（x）的n階導數。
當其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型餘項的n階麥克勞林公式。
當且n階導數存在時，公式稱為帶佩亞諾型的n階麥克勞林公式。
5樓：匿名使用者
你好，泰勒公式就是把乙個函式用多項冪函式代替，以便研究，項數越多，就越與原函式相近。所以餘項就是式與原函式的誤差，餘項越少，誤差就越小。在一定允許的範圍內，餘項可以忽略不計，即所謂的無窮小。
泰勒公式中的拉格朗日餘項證明的問題，如圖
6樓：知不道
這也是我的疑惑，我來也自問過這個問題，但並沒有得到專bai業的回答。du而這個結論主zhi要的思路就是通過daorn/(x-x0)^(n+1)作用柯西中值定理來推導出rn的具體表示式。而至於為什麼可以把rn表達成與(x-x0)^(n+1)也不是很清楚。
因為(x-x0)^(n+1)在x0處從一階導數到n階導數都是0啊，所以每次用中值定理分母都是一項，而且形式上可以寫成減去在x0處的第i階導數，就又符合中值定理的形式，可以繼續用中值定理直到得出所要的結果，這個構造是從結果出發來構造的。其實很多時候都要從題目的目的出發構造能解決問題的「工具」，只是這個構造確實很巧妙。
7樓：匿名使用者
能不能發個完整的**
8樓：是小仙女吶
我所理解的泰勒公式是證明f(x)=一長串，rn(x)=一長串，而證明的過程中使用到rn(x)=f(x)-p(x)，並不是證rn(x)=f(x)-p(x)，同樣也就不存在你圖中的因果關係了
泰勒公式的皮亞諾餘項的意義,泰勒公式中的x0有什麼意義,x可以取任意值嗎，請說細一點，謝謝了
x趨於什麼取決於你在哪一點泰勒啊，比如你在零點 那麼就是x趨於0時的無窮小 x x0，餘項是與x n同階無窮小 泰勒公式中的x0有什麼意義,x可以取任意值嗎，請說細一點，謝謝了 10 泰勒公式就是將函式在x0附近成冪級數，其思路是把乙個複雜的東西分解成若干個簡單的東西的相加，物理上也稱疊加原理。x0...
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