1樓：小尛
如果x和y是巴拿赫空間，t是x->y的線性運算元，那麼可以按下述方式定義║t║：
根據定義容易證明。
對於多個空間之間的復合運算元，也有。
如果乙個線性運算元t的範數滿足，那麼稱t是有界線性運算元，否則稱t是無界線性運算元。
比如，在常用的範數下，積分運算元是有界的，微分運算元是無界的。
容易證明，有限維空間的所有線性運算元都有界。
矩陣範數與運算元範數有什麼區別？
2樓：匿名使用者
一、囊括範圍不同
1、矩陣範數：將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。
2、運算元範數：運算元範數(operate norm)是矩陣範數的一種。
二、應用形式表達不同
1、矩陣範數：應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
2、運算元範數：運算元範數是矩陣範數的一種，設向量x是乙個n維向量，a是乙個n*n的矩陣，則a的運算元範數為max(ax/x)，運算元範數也稱從屬範數，其中x≠0。
3樓：電燈劍客
對於矩陣而言，矩陣範數真包含運算元範數，也就是說任何一種運算元範數一定是矩陣範數，但是某些矩陣範數不能作為運算元範數（比如frobenius範數）。
運算元範數為什麼等於max
4樓：匿名使用者
沒有運算元範數的說法，只有算籌的說法。
根據史書的記載和考古材料的發現，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13--14cm，徑粗0．2～0．3cm，多用竹子製成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的，大約二百七十幾枚為一束，放在乙個布袋裡，系在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在數學史上它們卻是立有大功的。
而它們的發明，同樣經歷了乙個漫長的歷史發展過程。
在算籌計數法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數目的，
其中1-5均分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示。表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數法遵循百進製。
據《孫子演算法》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。《夏陽侯算經》說：
滿六以上，五在上方，六不積算，**單張。
用算籌進行乘法計算，先擺乘數於上，再擺被乘數於下，並使上數的末位與下數的首位對齊，按從左到右的順序用上數首位乘下數各位，把乘得的積擺在上下兩數中間，然後將上數的首位去掉、下數向右移動一位，再以上數第二位乘下數各位，加入中間的乘積，並去掉上數第二位。直到上數各位用完，中間的數便是結果。
按照中國古代的籌算規則，算籌記數的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，萬位再用縱式等等，這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數了。由於它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。
毫無疑問，這樣一種算籌記數法和現代通行的十進位制記數法是完全一致的。
希望我能幫助你解疑釋惑。
矩陣論中向量範數、矩陣範數、運算元範數的聯絡和區別？範數到底有何作用呢？求直白易懂回答~
5樓：匿名使用者
^直白的說：
向量的一種範數就理解成在某種度量下的長度，比如歐式空間，二範數：||x||_2=sqrt(sum(x_i^2))。
矩陣範數，通常是把矩陣拉長成一列，做向量範數。e.g 矩陣的f範數就是拉成向量之後的二範數。
運算元範數，運算元a(有窮維中的矩陣a), 作用在向量x上（乘法），||a||:=max(||ax||), s.t. ||x||=1.
至於作用，就是方便給乙個抽象的空間（比如連續函式空間，函式就是乙個「點」）引入極限、收斂等分析的性質，像矩陣核範數在矩陣***pressed sensing裡就挺重要~
範數的矩陣範數
6樓：騷b雪的桃
一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣（或復方陣）全體上的任何乙個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
注：如果不考慮相容性，那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵，這一點和運算元範數的相容性一致，並且可以得到mincowski定理以外的資訊。
誘導的範數
把矩陣看作線性運算元，那麼可以由向量範數誘導出矩陣範數
║a║ = max= max ，
它自動滿足對向量範數的相容性
║ax║ ≤ ║a║║x║，
並且可以由此證明：
║ab║ ≤ ║a║║b║。
注：⒈上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的（有限開覆蓋定理），從而上面的連續函式可以取到最值。
⒉顯然，單位矩陣的運算元範數為1。
常用的三種p-範數誘導出的矩陣範數是
1-範數：║a║1 = max （列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值）
（其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘類似）；
2-範數：║a║2 = a的最大奇異值 = (max) 1/2 （譜範數，即a^h*a特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中ah為a的轉置共軛矩陣）；
∞-範數：║a║∞ = max （行和範數，a每一行元素絕對值之和的最大值）
（其中∑|a1j| 為第一行元素絕對值的和，其餘類似）；
其它的p-範數則沒有很簡單的表示式。
對於p-範數而言，可以證明║a║p=║ah║q，其中p和q是共軛指標。
簡單的情形可以直接驗證：║a║1=║ah║∞，║a║2=║ah║2，一般情形則需要利用║a║p=max。
非誘導範數
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數（也叫euclid範數，簡稱f-範數或者e-範數）：
║a║f= （∑∑ aij2）1/2 (a全部元素平方和的平方根）。
容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導（||e11+e22||f=2>1）。
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義
║x║=║x║，其中x=[x,x，…，x]是由x作為列的矩陣。
由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。另外還有以下結論：
║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f ≤ ║a║2 ║b║f
矩陣譜半徑
定義：a是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2，…，n。則稱特徵值的絕對值的最大值為a的譜半徑，記為ρ（a）。
注意要將譜半徑與譜範數（2-範數）區別開來，譜範數是指a的最大奇異值，即ah*a最大特徵值的算術平方根。
譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：
定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ（a）≤║a║。
因為任一特徵對λ，x,ax=λx，可得ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣a以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║a║<ρ（a)+e。
定理3(gelfand定理）：ρ（a)=lim_ ║ak║1/k。
利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 i,a,a2，…ak，… 收斂於零的充要條件是ρ（a)<1。
推論2：級數 i+a+a2+... 收斂到（i-a)-1的充要條件是ρ（a)<1。
酉不變範數
定義：如果範數║·║滿足║a║=║uav║對任何矩陣a以及酉矩陣u,v成立，那麼這個範數稱為酉不變範數。
容易驗證，2-範數和f-範數是酉不變範數。因為酉變換不改變矩陣的奇異值，所以由奇異值得到的範數是酉不變的，比如2-範數是最大奇異值，f-範數是所有奇異值組成的向量的2-範數。
反過來可以證明，所有的酉不變範數都和奇異值有密切聯絡：
定理（von neumann定理）：在酉不變範數和對稱度規函式（symmetric gauge function）之間存在一一對應關係。
也就是說任何酉不變範數事實上就是所有奇異值的乙個對稱度規函式。
運算元範數有什麼作用和性質
7樓：
t是開映象的定義：t將開集對映為開集t連續定義：t關於開集的原象是開集如果t可逆且是開映象,則t的逆對映是連續的開映像定理就是討論連續線性對映的逆對映什麼時候是連續的逆運算元定理：
"完備空間"到完備空間的乙個運算元t,如果t是"連續線性"運算元且可逆,則t的逆運算元是連續的.為了不牽扯到t的逆運算元的存在性, 人們定義了開印象的概念. 開映象定理：
完備空間到完備空間的乙個運算元t,如果t是連續線性運算元且是滿射,則t是開映象可見, 在開映象定理的條件上再加上t是單射, 就是逆運算元定理.關於「滿足開映象定理的運算元的範數」, 你說的是運算元的範數, 條件要求"t是連續線性運算元", 即t是有界線性運算元, 所以||t||有界. 除此似乎沒有其他的性質了.
8樓：查欣幹友安
運算元空間
賦予範數
這樣可以把運算元空間變成乙個賦範空間來研究，賦範空間有很多作用和性質就可以被應用到運算元的分析中去。運算元範數也是對運算元的一種度量方式。就好像實數有絕對值，向量有模長一樣，運算元也有乙個類似的概念。
你姑且認為是向量的模長在運算元空間上的推廣形式吧。
那麼運算元範數有什麼作用和性質，你先考慮考慮向量的模長有什麼作用和性質，然後類推到運算元上，會有一些結論。其他的你需要更多的去學習。
求運算元的範數 20
9樓：
微分算方bai法應用於尋求du非齊次微分方程特解，相應zhi的齊次微分dao方程的由特徵方程的一般內解（第二階或二容階可轉化成）和變數（第一級分離，那麼常數的方法來解決比較簡單的）求解非齊次方程的常見變異。
2，公式變換：使......將改寫微分方程形式，即特定的解決方案。
這樣的結果：常係數
微分方程，直接以重寫指數d的推導中，常係數不變，就可以了。
常微分方程（我只知道尤拉方程），做第一次轉型，那麼：
，，可以帶入公式。
3.f（d）屬性：
披索（1）d代表微分，1次/ d，表示積分;
日（2）f（d）g（x）表示g（x），以使相應的f微分運算（d）[1 / f（d）] g（x）也表示表示克（x）的使微分運算元，相應的1 / f（d），其中1 / f（d）由分數多項式除法虛假書面形式;
披索（3）......;
（4）根據（3）使分子式為的零也就是說，此時當k是方程的特徵根，以使特定的溶液和線性無關的通用的解決方案，只要如果分子具有零直至分子不為零。
內積與矩陣範數，什麼是矩陣的範數
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