1樓：孤獨的暗精靈
因式分解
口訣：找準公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：
-am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式
公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反過來為a^2-b^2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反過來為a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。 兩根式：
ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 完全立方公式：
a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
分解因式技巧
1．分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式 ②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示 ③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：
分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 2．提公因式法基本步驟： （1）找出公因式 （2）提公因式並確定另乙個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母 ②第二步提公因式並確定另乙個因式，注意要確定另乙個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的乙個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另乙個因式 ③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
編輯本段競賽用到的方法
分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1． 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b) 說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成乙個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。 2． x^3-x^2+x-1 解法：
=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x^2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕鬆解決。 3． x^2-x-y^2-y相關公式
解法：=(x^2-y^2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
十字相乘法
這種方法有兩種情況。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。
因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+c)(bx+d)． 圖示如下：
a╲╱c b╱╲d 例如：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 因為 7．2 1．-3 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中
拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．
配方法對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成乙個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.
25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)．
應用因式定理
對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的乙個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：
1、對於係數全部是整數的多項式，若x=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數 2．對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數
換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另乙個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意：換元後勿忘還元。
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。
求根法令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
圖象法令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與x軸的交點x1,x2,x3,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
主元法先選定乙個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每乙個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。
待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母係數，求出字母係數，從而把多項式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)相關公式
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。
雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下： ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：
這是乙個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y) ②先依乙個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) ③再按另乙個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。 利用根與係數的關係對二次多項式進行因式分解 例：
對於二次多項式 ax^2+bx+c(a≠0) ax^2+bx+c=a[x^2+(b/a)x+(c/a)x]. 當△=b^2-4ac≥0時， =a(x^2-x1-x2+x1x2) =a(x-x1)(x-x2).
編輯本段多項式因式分解的一般步驟
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解 ④分解因式，必須進行到每乙個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。
十字相乘試一試，分組分解要合適。」 幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：
對於任何實數x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
3．．△abc的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：
∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△abc的三條邊， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△abc為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：
-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)
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1個拿，正好拿完。3個 7個 9個都正好拿完，說明 雞蛋個數是1 3 7 9的公倍數。那麼雞蛋的個數可能是 63 126 189 252 315 378 441 2個2個拿，剩1個，說明 雞蛋個數是63 189 315 441 剩下的這些數 1之後是4 5 8的公倍數，3是6的公倍數，那麼結果等於4...
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根據第一題可以知道乙個紅色正方形等於9 27 3 9 根據第二題可以知道乙個綠色三角形等於5 24 9 3 5根據第三題可以知道乙個藍色圓形等於41 96 9 5 2 41 所以 9 5 41 55 這是都按照加法算的，如果你的.表示乘法，那麼就是以下答案紅色正方形的3次方等於27，那麼乙個紅色正方...
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乙車在下午4點位於a地前方的b地，已知a b兩地相距120千公尺，這句話的意思有兩種理解 1 乙車還沒有到a地 2 乙車已經過了a地。因而有兩種不同的答案了。其一 設乙車離開a地經過x小時後追上甲車，而甲車已經開了 x 6 120 55 小時，列方程得 45 x 6 120 55 55x 解之得x ...