1樓：明天爽歪歪
由a^2+b^2.=2ab得 1/a^2+1/b^2>=2*(1/a)*(1/b)
同樣 1/b^2+1/c^2>=2*1/bc1/c^2+1/d^2>=2*1/cd
1/d^2+1/a^2>=2*1/da
四個式子相加，再兩邊都除以2就得到了
如果你學過柯西不等式得話就簡單了，選講內容裡的吧（1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2）*（1/b^2+1/c^2+1/d^2+1/a^2）>=(1/ab+1/bc+1/cd+1/da)^2
兩邊的平方去掉就是
當然如果你們講過排序不等式的話，那左邊是順序和，是最大的
2樓：匿名使用者
2/a^2+2/b^2+2/c^2+2/d^2=(1/a^2+1/b^2)+(1/b^2+1/c^2)+(1/c^2+1/d^2)+(1/d^2+1/a^2)
>2√1/a^2b^2+2√1/b^2c^2+2√1/c^2d^2+2√1/d^2a^2
=2/|ab|+2/|bc|+2/|cd|+2/|da|=2/ab+2/bc+2/cd+2/da
故1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2>1/ab+1/bc+1/cd+1/da證畢
已知a,b,c是不全相等的正數，求證：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).
3樓：匿名使用者
推廣1 如果a、b是正數，那麼an＋bn≥an-1b＋abn-1（n∈n且n≥2）（當且僅當a＝b時取「＝」號）．
如果將a2＋b2≥2ab寫成a2＋b2≥a1b1＋a1b1，結合a3＋b3≥a2b＋ab2，略加比較很容易聯想到上面的結論．其證明也是很簡單的．
an＋bn－（an-1b＋abn-1）＝an-1（a－b）＋bn-1•（b－a）＝（a－b）（an-1－bn-1），
∵ a、b為正數，∴ a－b與an-1－bn-1同號或同時為0，即（a－b）（an-1－bn-1）≥0，
∴ an＋bn≥an-1b＋abn-1（當且僅當a＝b時取「＝」號）．
利用這一結論，證明a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），較之原教材所採用的方法，不論是方法的設計(突破)，還是化簡的過程，都要自然、容易，而且緊緊圍繞著a2＋b2≥2ab這一重要結論．
進一步研究還會發現，上述題2與題1是有些不同的，因此有更一般的結論：
推廣2 如果a、b是正數，n∈n且n≥2，那麼an＋bn≥an－x�bx＋axbn－x（x∈n，且1≤x≤int（n/2），其中int（n）是指不超過n的最大整數）（當且僅當a＝b時取「＝」號）．
如，已知a、b是正數，則
a4＋b4≥2a2b2； a4＋b4≥a3b＋ab3；
a5＋b5≥a4b＋ab4； a5＋b5≥a3b2＋a2b3；
a6＋b6≥a5b＋ab5；a6＋b6≥a4b2＋a2b4；
a6＋b6≥2a3b3；a7＋b7≥a6b＋ab6；a7＋b7≥a5b2＋a2b5；a7＋b7≥a4b3＋a3b4．
當指數超過3時，根據推廣2可以得到多個不等式．利用這些不等式，能較易證明一些不等式．如，若x、y為正數，則x4＋y4≥（1／2）xy（x＋y）2．比較題1和題2不等式的右邊，進一步研究又可得到：
推廣3 如果a、b是正數，n∈n且n≥2，那麼
an＋bn≥an-1b＋abn-1≥an－2b2＋a2bn－2≥an－3b3＋a3bn－3…(當且僅當a＝b時取「＝」號），即按a的降冪排列，或者按b的公升冪排列．
如，若a＞0，b＞0，則a7＋b7≥a6b＋ab6≥a5b2＋a2b5≥a4b3＋a3b4．
對於a＋b≥2 ，若將 看成a（1/2）b（1/2），則可以得到另一種形式的推廣：
推廣4 如果a、b是正數，n∈n*，p＞0，q＞0，且p＋q＝n，那麼an＋bn≥aqbq＋aqbp（當且僅當a＝b時取「＝」號）．
證明：an＋bn－（apbq＋aqbp）＝ap＋q＋bp＋q－apbq－aqbp＝bp＋q〔（a/b）p－1〕〔（a/b）q－1〕．
①若a＝b＞0，則（a/b）＝1，此時an＋bn＝apbq＋aqbp；� ②若a＞b＞0，則（a/b）＞1，此時（a/b）p＞1，（a/b）q＞1，所以an＋bn＞apbq＋aqbp；
③若0＜a＜b，則0＜（a/b）＜1，此時0＜（a/b）p＜1，0＜（a/b）q＜1，所以an＋bn＞apbq＋aqbp．
因此，an＋bn≥apbq＋aqbp（當且僅當a＝b時取「＝」號）
例如，設x∈r＋，n∈n，求證xn＋x－n≥xn-1＋x1-n．
證明：令a＝x＞0，b＝x-1＞0，則
xn＋x-n＝an＋bn≥an－（1／2）b（1／2）＋a（1／2）bn－（1／2）＝xn－（1／2）•x－（1／2）＋x（1／2）x－（n－（1／2））
＝xn-1＋x1-n．
已知a、b、c為不全相等的正數，且abc=1，求證：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c
4樓：匿名使用者
右邊，把1換成abc
這樣右邊=bc+ac+ab=1/2*(2bc+2ac+2ab)=1/2*[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]=1/2*[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]>=1/2*[a*2*根號(bc)+b*2*根號(ac)+c*2*根號(ab)]=a*根號(bc)+b*根號(ac)+c*根號(ab)=a*根號(1/a)+b*根號(1/b)+c*根號(1/c)=根號a+根號b+根號c
因為abc不相等，所以a+c>=2*根號ac,b+c>=2*根號bc,b+a>=2*根號ba,等號不同時取得，所以原式得證
5樓：秘小你
證明 ：由題意知 右邊=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc
=√a+√b+√c 當且僅當a=b=c時 等號成立 又abc不全相等 所以 不能取等號
即 ：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c
6樓：匿名使用者
右邊的1用根號abc代掉,再用排序不等式就可以了
設a、b、c為不全相等的正數，且abc=1。求證：ab+bc+ca>√a+√b+√c。
7樓：匿名使用者
∵a、b、c是有序的正數，∴1/√a、1/√b、1/√c也是有序的正數，
由排序不等式：順序和不小於亂序和，有：
（1/√a）（1/√a）＋（1/√b）（1/√b）＋（1/√c）（1/√c）
≧（1/√a）（1/√b）＋（1/√b）（1/√c）＋（1/√a）（1/√c），
∴1/a＋1/b＋1/c≧1/√（ab）＋1/√（bc）＋1/√（ac）。
∵abc＝1，∴√（abc）＝1。
∴（abc）/a＋（abc）/b＋（abc）/c
≧√（abc）/√（ab）＋√（abc）/√（bc）＋√（abc）/√（ac），
∴bc＋ac＋ab≧√c＋√a＋√b。
考慮到a、b、c不全相等，∴ab＋bc＋ac＞√a＋√b＋√c。
8樓：丶最初的天空丨
證明 ：由題意知 右邊=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc
=√a+√b+√c 當且僅當a=b=c時 等號成立 又abc不全相等 所以 不能取等號
即 ：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c
9樓：匿名使用者
a、b、c為不全相等的正數，且abc=1
ab+bc>2√ab^2c =2√b (1)bc+ca>2√abc^2=2√c (2)ab+ca>2√a^2bc=2√a (3)(1)+(2)+(3)得2ab+2bc+2ca>2√a+2√b+2√c
ab+bc+ca>√a+√b+√c。
a,b,c，為正數，且abca的1，求accbba的值
引入數軸的概念，將a看做定點，那麼la bl和lc al就分別表示b,c到a的距離，當b,c在a的兩邊時，則b與c的距離就是b到a和c到a的距離和，也就是1 當b,c在a的同一側時，則b,c最大距離為1 此時，b,c中有一點和a重合 最小為0 b,c重合 a c c b b a 1 lc bl最大為...
a，b，c為互不相等的正實數，求證 a的4次方 b的4次方 c的4次方abc（a b c）
證明 a b c互不相等，由基本不等式，得 a 4 b 4 c 4 1 2 a 4 b 4 b 4 c 4 c 4 a 4 1 2 2a b 2b c 2c a a b b c c a 1 2 a b c a b c a b c a b c 1 2 a b c b c a c a b 1 2 a 2...
如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊AB,DA上的點 當APQ的周長為2，求PCQ
假設 角dcq 角bcp pq c，則 tg 角pcq tg 90 ctg 1 tg tg tg tg 在 cdq中，由 cd 1，知 dq tg aq 1 tg 在 cbp中，由 bc 1，知 bp tg ap 1 tg 因為 apq的周長為2，所以 由 pq 2 aq ap 知 c 2 1 tg...