1樓：風遙天下
利用a^2+b^2>=0.5*(a+b)^2代入:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=0.5*(a+1/a+b+1/b)^2=0.5*(1+1/ab)^2
很容易得ab<=0.25*(a+b)^2=1/4 得到1/ab>=4因此原式 >=0.5*(1+4)^2=25/2兩個不等號取等號時的條件是一樣的,都是a=b.因此成立.
2樓：匿名使用者
a+b=1 >= 2ab (當a = b= 1/2 時取等號，此時 ab 最大值為1/4)
（a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/ b^2 + 4=[a^2 + b^2] * [1+ 1/(ab)^2] + 4=[1-2ab][1+1/ab)^2] +4 >= [1-2*0.25][1+16] + 4 =0.5*17 + 4 =12.5
3樓：0o霸氣
當a b都大於0時不等式成立
因為|a+1/a|>=2
所以（a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=8>25/4
先舉個例子
設函式f（x）在[a，b]連續，在（a，b）可導，且f（a）=f（b）=0，求證存在s屬於（a，b），使
s*f（s）+f『（s）=0
這類問題都可以化成求s，使f（s）=g（s）*f』（s）的問題，
解決方法是建構函式。
令 g1（x）=-1/g（x）的積分
q（x）=e^g1(x)
則我們構造出f（x）*q（x）這個函式，再用柯西定理去解決。
試試看，不用再絞盡腦汁去建構函式。
文章開頭的例子的解法：
求s 使s*f（s）+f『（s）=0
即f（s）=-1/s*f『（s）
令g（x）=-1/x
則g1（x）=-1/g（x）積分=x積分=x*x/2
則q(x)=e^(x*x/2)
現在我們構造出函式 p（x）=f（x）*q（x）=f（x）*e^(x*x/2)
則函式p（x）在[a，b]連續，在（a，b）可導，且p（a）=p（b）=0
根據柯西定理，存在一點s，使p』（s）=0
p『（x）=f（x）*e^(x*x/2)*x+f』（x）*e^(x*x/2)
=[x*f（x）+f『（x）]*e^(x*x/2)
存在s使p』（x）=0，
因為e^(x*x/2)《》0
所以s*f（s）+f『（s）=0
【柯西不等式的證法】
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
■①cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
■②用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於0，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法．
【柯西不等式的應用】
柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
■巧拆常數：
例：設a、b、c 為正數且各不相等。
求證： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
已知ab1,a2b25求ab的值
解 因為a b 1,a 2 b 2 5所以 a b 2 1 a 2 2ab b 2 1 又因為a 2 b 2 5 所以5 2ab 1 2ab 4 解得ab 2 a減b的平方等於a的平方減去2倍ab加上b的平方。a減b的值和a的平方加上b的平方的值都知道了，ab的值自然就可以算出來 a b 1，a b...
已知abb 1）的平方0試求，已知 ab 2 （b 1）的平方 0試求1 ab 1 （a 1 （b 1） 1 （a 2）（b 2） 1 a 3 b 3 的值
由知 ab 2 b 1 的平方 0 ab 2 0 b 1 0 解這兩個方程得b 1 a 2 把這個答案帶到原題1 ab 1 a 1 b 1 1 a 2 b 2 1 a 3 b 3 1 ab 1 a 1 b 1 1 a 2 b 2 1 a 3 b 3 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1...
1 已知根號a 2再加b 1的絕對值0，那麼 a b 的2019立方的值為多少？2 斜邊長為
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