1樓：立港娜娜
兩種形式
第一種，f(t)=(b0t^m+b1t^m-1+…+bm-1t+bm)*e^λt。
特解形式:t^k*(類似上式括號中式子，齊次)*eλt,λ是特徵根，k是特徵根重數。
第二種，f(t)=＜a(t)cosβt+b(t)sinβt＞*e^αt。
特解形式:t^k*＜p(t)cosβt+q(t)sinβt＞*e^αt,特徵根有α±iβ的形式，k為特徵根重數。
二階常係數齊次線性微分方程：
1，二階常係數齊次線性微分方程
標準形式：y″+py′+qy=0。
特徵方程：r^2+pr+q=0。
通解1.兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)。
2.兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)。
3.一對共軛復根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)。
二階常係數非齊次線性微分方程。
標準形式：
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解法：通解=非齊次方程特解+齊次方程通解。
對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)的特解y*具有形式y*=
其中q(x)是與p(x)同次的多項式，k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根（上文有提），依次取0,1或2。
將y*代入方程，比較方程兩邊x的同次冪的係數（待定係數法），就可確定出q(x)的係數而得特解y*。
多項式法：
f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ，這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。
公升階法：
設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，當f(x)為多項式時，設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此時，方程兩邊同時對x求導n次，得：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此時，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1)，依次公升階，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的乙個特解y(x)。
微分運算元法：
微分運算元法是求解不同型別常係數非齊次線性微分方程特解的有效方法，使用微分運算元法求解二階常係數非齊次線性微分方程的特解記憶較為方便，計算難度也可降低。
引入微分運算元d/dx=d，d^2/dx^2=d^2，則有 y'=dy/dx=dy，y''=d^2y/dx^2=d^2y，於是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化為(d^2+pd+q)y=f(x)，令f(d)=d^2+pd+q，稱為運算元多項式。
f(d)=d^2+pd+q即為f(d)y=f(x)，其特解為y=f(x)/f(d)[3]。
降解法：
如果已知線性微分方程對應齊次方程的乙個特解，就可以用降解法求出其解，線性齊次微分方程的特解也可以用降階法求出。
2樓：gaojing靜的家
我剛才也有點疑惑 特地來看看 發現看了你這個加上自己的理解突然明白。希望可以幫助你
如下：二階微分方程是y"＋py'+q=0
特徵方程：λ²＋pλ＋q=0
無論如何解為／2a
帶入得／2
α=-p／2
β=（4q-p²）½／2《因為根號下面為正嘛 所以調換一下》
這樣就是α和β了
3樓：匿名使用者
1、一元二次方程ax²+bx+c=0
則兩個x1+x2=-b/a
x1•x2=c/a
用此可得
2、r1,2=[-p±√(p²4q)² ]/2=[-p/2 ±√(p²4q)²/2 ]，=-p/2 ± √(4q-p)²/2 i (因為(p²4q)²<0,所以，得複數）
故，α=-p/2 β=√4q-p²/2
（復根時，r1,2=α ± βi）
4樓：張所天
如果是為了考研的話 就記住唄
5樓：king天王
只不過是用不同的符號表示而已
二階常係數齊次線性微分方程 通解
6樓：匿名使用者
y'' - 2y' + 5y = 0,
設y = e^[f(x)],則
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
當f(x) = ax + b, a,b是常數時。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2個解都滿足微分方程。所以，微分方程的實函式解為，
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的實函式的通解為，
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中，c1,c2 是任意常數。
記 c1 = 2c1e^b, c2 = 2c2e^b,
有 y = e^x[c1cos(2x) + c2sin(2x)]
c1,c2為任意常數。
這個，可能就是特徵方程無實數根時，通解的由來吧~~
【俺記憶力很差，公式都記不住，全靠傻推。。
這樣的壞處是費時，好處是，自己推1遍，來龍去脈就清楚1些了。
不知道，俺的傻推過程對你的疑問有點幫助沒~~】
7樓：吉祿學閣
r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
8樓：風長月
就是解r^2-2r+5=0這個方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
應該沒有什麼難理解的啊
9樓：匿名使用者
r^2-2r+5=0
δ=b^2-4ac=16<0
所以這個方程沒有實根，而是是2個共軛復根。
復根就是用複數
表示的根
複數是比實數更大範圍的數， 由實部和虛部組成。
虛部有個i，i^2=－1，如設實數m，n，則複數可以表示為m+ni，m是實部，ni為虛部。
其中m+ni和m-ni是共軛關係，就是虛部是相反數，實部相等的兩複數！
復根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根號下|δ|)/2a希望您能明白
10樓：邢俊傑
r^2-2r+5=0 在實數域內你能
得到根麼？在複數域內則可得到一對共軛復根，事實上任何實係數一元多次方程若有虛根，則虛根必共軛成對出現！
當然你可能更想知道怎麼由這對共軛根得到該微分方程的通解，這問題個根據兩種情況解決
1）你只是學簡單地高等數學，或者搞工程技術，那麼只需要記住怎麼由該虛根求得微分方程通解就行了，就是記住公式，記住虛根實虛部和微分方程通解的對應關係（或稱為微分方程解的結構）
2）你對求解過程非常感興趣，或者是學專業數學的，那麼你可以參考任何一本專業講常微分方程的書籍，都能得到你的答案
二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的 150
11樓：愛佳佳的恐龍
標準形式 y″+py′+qy=0
特徵方程 r^2+pr+q=0
通解兩個不相等的實根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)兩根相等的實根：y=(c1+c2x)e^(r1x)共軛復根r=α+iβ：
y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
12樓：匿名使用者
有兩種方法：
第一種是套公式待定係數：方程右邊如果是exp(ax)(am1(x)cosx+bm1(x)sinx)，則特解的形式為exp(ax)(cm(x)cosx+dm(x)sinx). 其中am1指次數為m1的x的多項式，m=max.
將該形式代入方程，確定出cm和dm。
這種方法技術含量低，普遍性差。
第二種是laplace變換：將方程兩邊做laplace變換，由變換公式l[y']=pl[y]+y(0)，微分方程將變成代數方程，解出l[y]，再將其反演，得到y
這種方法技術含量高，普遍性好，並且可以直接得到完整解，而不只是特解。
13樓：匿名使用者
特徵根方程
假設解是e^(r*t)
r是待定常數
代入可以得到
(r^2+k^2)e^(r*t)=0
r^2+k^2=0
r=ki,-ki
然後由尤拉公式
e^(ki)=cosk+isink
e^(-ki)=cosk-isink
x=a(cosk+isink)+b(cosk-isink)整理即得
x=c1 cosk + c2 sink
然後任取乙個為0，乙個為1即可
二階常係數非齊次線性微分方程的求解
14樓：是你找到了我
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，特解
1、當p^2-4q大於等於0時，r和k都是實數，y*=y1是方程的特解。
2、當p^2-4q小於0時，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復根，y*=1/2（y1+y2）是方程的實函式解。
高等數學，常微分方程，求二階常係數非齊次線性微分方程
y2 y1 e 2x e x y3 y1 e x 是二階常係數齊次線性微分方程的解，所以它對應的特徵方程的特徵根是2，1，於是二階常係數齊次線性微分方程是y y 2y 0,xe x是y y 2y f x 的解，xe x 1 x e x,1 x e x 2 x e x,所以f x 2 x 1 x 2x...
二階線性常係數非齊次方程特解方法
1 較常用的幾個 ay by cy e mx 特解 y c x e mxay by cy a sinx bcosx y msinx nsinx ay by cy mx n y ax2 二階線性微分方程的一般形式為ay by cy f 1 其中係數abc及f是自變數x的函式或是常數。ay by cy ...
一道二階非齊次線性微分方程的題目要詳細過程。
特徵方程為t 2 1 0,得t 1,1所以齊次方程通解為y1 c1e x c2e x 設特解為y axsinx bxcosx csinx dcosx則y asinx axcosx bcosx bxsinx ccosx dsinxy acosx acosx axsinx bsinx bsinx bxc...