1樓：_菩提樹
合情推理與演繹推理
典例精析
題型一 運用歸納推
理發現一般性結論
【例1】 通過觀察下列等式，猜想出乙個一般性的結論，並證明結論的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左邊＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右邊.
【點撥】先猜後證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是「具有共同特徵型」，二是「遞推型」，三是「迴圈型」(週期性).
【變式訓練1】設直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有a＋b＜c＋h成立，某同學通過模擬得到如下四個結論：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正確結論的序號是 ；
進一步模擬得到的一般結論是 .
【解析】②③；an＋bn＜**＋hn(n∈n*).
題型二 運用模擬推理拓展新知識
【例2】 請用模擬推理完成下表：
平面 空間
三角形兩邊之和大於第三邊 三稜錐任意三個面的面積之和大於第四個面的面積
三角形的面積等於任意一邊的長度與這邊上的高的乘積的一半 三稜錐的體積等於任意乙個底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等於其內切圓半徑與三角形周長的乘積的一半
【解析】 本題由已知的前兩組模擬可得到如下資訊：
①平面中的三角形與空間中的三稜錐是模擬物件；②三角形各邊的邊長與三稜錐各面的面積是模擬物件；③三角形邊上的高與三稜錐面上的高是模擬物件；④三角形的面積與三稜錐的體積是模擬物件；⑤三 角形的面積公式中的「二分之一」與三稜錐的體積公式中的「三分之一」是模擬物件.
由以上分析可知：
故第三行空格應填：三稜錐的體積等於其內切球半徑與三稜錐表面積的乘積的三分之一.
本題結論可以用等體積法，將三稜錐分割成四個小的三稜錐去證明，此處從略.
【點撥】模擬推理的關鍵是找到合適的模擬物件.平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以模擬到立體幾何中，得到類似的結論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的模擬列表如下：
平面 空間
點 線線 面
圓 球三角形 三稜錐
角 二面角
面積 體積
周長 表面積
… …【變式訓練2】面積為s的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點p到第i條邊的距離 為hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，則 ＝ ；(2)模擬以上性質，體積為v的三稜錐的第i個面的面積記為si(i＝1,2,3,4)，此三稜錐內任一點q到第i個面的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若s11＝s22＝s33＝s44＝k，則 ＝ .
【解析】2sk；3vk.
題型三 運用「三段論」進行演繹推理
【例3】已知函式f(x)＝ln ax－x－ax(a≠0).
(1)求此函式的單調區間及最值；
(2)求證：對於任意正整數n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥ln enn！.
【解析】(1)由題意f′(x)＝x－ax2.
當a＞0時，函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，
此時函式在(0，a)上是減函式，在(a，＋∞)上是增函式，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
當a＜0時，函式f(x)的定義域為(－∞，0)，
此時函式在(－∞，a)上是減函式，在(a,0)上是增函式，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－ln x＝ln ex，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋12＋ 13＋…＋1n≥ln e＋ln e2＋…＋ln en＝ln enn！.
【點撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而「三段論」是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現的頻率較大.
【變式訓練3】已知函式f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然對數的底數)，
(1)若對任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條件的最大整數k的 值；
(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈n*).
【解析】(1)由條件得到f(1)＜2⇒ ＜2⇒k＜2ln 2＋1＜3，猜測最大整數k＝2，
現在證明 ＜x＋1對任意x＞0恆成立：
＜x＋1等價於2－3x＋1＜ln(x＋1)⇔ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
設h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，則h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)時，h′(x)＜0，當x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0.
所以對任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即 ＜x＋1對任意x＞0恆成立，
所以整數k的最大值為2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
總結提高
合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.儘管合情推理(歸納、模擬)得到的結論未必正確，但歸納推理與模擬推理具有猜想和發現新結論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數學學習中，我們可以由熟悉的、已知的知識領域運用歸納、模擬思維獲取發現和創造的靈感去探索陌生的、未知的知識領域.演繹推理是數學邏輯思維的主要形式，擔負著判斷命題真假的重要使命.
如果說合情推理是以感性思維為主，只需有感而發；那麼演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據.在近幾年高考中一道合情推理的 試題往往會成為一套高考試題的特色與亮點，以彰顯數學思維的魅力.其中數列的通項公式、求和公式的歸納、等差數列與等比數列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的模擬的考查頻率較大.
而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.
2樓：匿名使用者
數學推理
推理是從
乙個或幾個已知的判斷得出乙個新的判斷的思維過程。其結構包括前提和結論兩部分，已知的判斷稱為推理的前提，得出的新判斷叫做推理的結論。正確的推理要求前提真實，要求運用符合形式邏輯的推理方式，遵守推理規則。
推理規則
推理規則就是正確的推理形式，遵守這些形式就能保證推理合乎邏輯。中學數學中常用的推理規則有：
規則1 若p∧q真，則p真；若p∧q真，則q真。即
（p∧q）→p；（p∧q）→q。
規則2 若p→q真，且p真，則q真。即（p→q）∧p→q。
規則3 若p→q真，且q→r真，則p→p→真。即（p→q）∧（q→r）→（p→r）
規則4 若（p∨q）真，且「p真，則q真。即（p∨q）∧「p→q。同樣有：（p∨q）∧「q→p。
規則5 若（p→q）真，且「q真，則「p真。即（p→q）∧「q→「p。
規則6 若集合a中每一元素x，都有屬性f，則集合a的任一非空子集b中的每個元素y也具有屬性f。即
x∈a〔f（x）〕∧（ab≠ф）→y∈b〔f（y）〕。
這條規則是邏輯上的一條演繹推理規則，是作為公理提出來的。它保證了由全稱命題真可以推出相應的特稱命題真。
除了上述推理規則外，有些邏輯恆真命題也可作為推理規則使用。
二.推理的種類
根據不同的劃分標準，推理可以分成許多種類。數學中常用的推理有歸納推理、模擬推理和演繹推理。
1.歸納推理
歸納推理，又稱歸納法，是由特殊到一般的推理，是從個別或特殊的事物所作的判斷擴大為同類一般事物的判斷的思維過程。根據前提與結論所作判斷的範圍是否相同，歸納法可分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。
（1）完全歸納法
如果歸納推理的前提中乙個或幾個判斷範圍的總和與結論中判斷的範圍完全相同，這種歸納推理叫做完全歸納法。它的表示形式是：
s1、s2、…sn是a類事物中所有的物件，
s1具有（或不具有）p
s2具有（或不具有）p
………………………………
sn具有（或不具有）p
a類事物具有（或不具有）p
例如，證明三角形三條高或其延長線共點，可以分別證明銳角、直角、鈍角三角形三條高或其延長線共點，從而推出任意三角形三條高或其延長線共點的結論。
由於完全歸納法在前提判斷中已對結論的判斷範圍作出了判斷，如果都是真實的，則所得的結論是完全可靠的，所以完全歸納法可作為數學上的一種嚴格推理方法。但是應用時，須注意前提的判斷範圍既不必重複，也不能遺漏，即前提判斷範圍的總和不能小於結論判斷的範圍。
（2）不完全歸納法
如果歸納推理的前提判斷範圍的總和小於結論判斷範圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法。其表示形式是：
s1、s2、…sn是a類事物中部分的物件，
s1具有（或不具有）p
s2具有（或不具有）p
………………………………
sn具有（或不具有）p
a類事物具有（或不具有）p
例如中學數學中從具體實數的運算概括出實數的運算律以及指數運算性質等的推理都是不完全歸納法。
必須注意，根據不完全歸納法推出的結論可能真，也可能假。因此，不完全歸納法不能作為數學上一種嚴格的推理方法使用，但是它在科學研究中可提出假設或猜想，在解題中便於發現規律，啟發思維。教學中，為了說明某些定理、公式、性質的正確性，也往往借助於個別特殊的例子來說明，其實質就是用例項來進行驗證，也可以認為是用不完全歸納法來進行推理的。
2.模擬推理
模擬推理是由特殊到特殊的推理，即根據兩個（或兩類）事物的某些相同或相似的性質，斷定它們在別的性質上也可能相同或相似。其表示形式是：
a類事物具有性質a、b、c、d
b類事物具有性質a、b、c
b類事物可能具有性質d
例如，由平面上線與線之間的關係推測空間中面與面之間的關係，就是模擬推理。
模擬推理所得出的結論未必真，它只有一定程度的可靠性。有些結論，還有待於實踐和理論的證明。一般說來，如果兩類事物共有的性質和推出的性質是密切相關的，那麼結論就比較可靠。
兩類事物共有的性質越多，推出的結論的可靠程度就越大。
用模擬推理所得結論，雖然不一定都真實，但模擬推理對科學技術和數學本身的發展以及在數學教學中的作用卻是很大的。數學中有不少重大發現乃至有關解題方法是由模擬推理提供線索的，數學本身賴以獲得真理的主要手段就是歸納和模擬。因此，模擬推理仍不失為一種獲取新知識的工具。
3.演繹推理
演繹推理是由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出對這類事物的個別、特殊事物判斷的思維形式。
演繹推理的前提與結論之間有著必然的聯絡，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結論。因此，演繹推理可以作為數學中一種嚴格的推理方法使用。
演繹推理的形式多種多樣，數學中運用最普遍的有三段論和關係推理，此外，還有選言推理、假言推理、聯言推理等。
（1）三段論。三段論是由兩個包含著乙個共同項的性質判斷而推出乙個新的性質判斷的推理。它的理論根據是前面的規則6。
簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實現的。其表現形式為：
集合m中的元素具有（或不具有）p
x∈mx也具有（或不具有）p
三段論的結構包括大前提——反映一般原理的判斷，小前提——反映個別物件與一般原理聯絡的判斷，以及結論三個判斷。如果大前提、小前提都正確，則結論一定正確。
例如，∵平行四邊形的對角相等（大前提），
四邊形abcd是平行四邊形（小前提），
∴四邊形abcd的對角相等（結論）。
（2）關係推理。關係推理是根據物件間關係的邏輯聯絡（如對稱、傳遞等）進行推演的推理形式。它的前提和結論都是關係判斷。
設a、b、c表示物件，r表示關係（可表示數學中的「相等」、「大於」、「小於」、「平行」、「垂直」等關係）。那麼，這兩個物件之間的關係判斷可以表示為「arb」。
關係推理又可以分為直接關係推理和間接關係推理兩類。
直接關係推理常見的有：
若關係r具有對稱性，稱為對稱關係推理。即arb=>bra。例如，數學中的「相等」、「平行」、「垂直」等關係都具有對稱性。因此，含有這些關係的判斷都可以按上法推理。
若關係r具有反對稱性，稱為反對稱關係推理。即arb=>ba。例如，數學中的「大於」、「小於」、「整除」等關係都具有反對稱性。因此，含有這些關係的判斷都可以按上法推理。
間接關係推理常見的有：
若關係r具有傳遞性，可進行傳遞關係推理，即（arb）∧（brc）arc。例如，數學中的「相等」、「平行」、「大於」、「小於」、「整除」等關係，都具有傳遞性。因此，含有這些關係的判斷都可以進行這種推理。
若關係r具有反傳遞性，則可進行如下的反傳遞關係推理，即（arb）∧（brc）ac。數學中的「垂直」關係就不具有傳遞性，因此，對於垂直關係的判斷，就應如下推理：
a⊥b，且b⊥ca並非垂直c。
最後，需要指出的是，在數學推理過程中，以及在數學發展過程中，演繹和歸納從來都不是孤立出現的，它們緊密交織在一起。通常是由歸納法得出原始概念和公理、建立假設和猜想，假設和猜想一經證明成立，就獲得了定理、公式和性質這類一般規律，然後把所得的一般性判斷作為大前提進行演繹推理，從而解決各類數學問題。
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