1樓:俞根強
搞數學的?
數學上的數系,是擴張(extension),
從自然數,搞得越來越大
簡述數系的五次擴充的過程
2樓:匿名使用者
數系的擴充過程 ,在人類文明史的發展過程中,先有正整數z+=n∗,但在z+中減法又不封閉:3−5=−2,不再屬於z+,為此引進新數z−和0,合成整數z。z=z+∪z−∪ 0 ,這是數系的第一次擴充。
在z內除法又不封閉:5 3∉z,為此引進新數:分數,合成有理數q=z∪ 分數 ,這是數系的第二次擴充。
在q內正數不能開偶次方: 2∉q,為此引進新數q ,合成新數r=q∪q . 在r內負數不能開偶次方, −2∉r,為此又要引進新數虛數r ,與實數r合成複數:
c=r∪r 。
數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集,了解它們之間的包含關係。
3樓:死亡期末
系擴充原則(principle of extension of a number system)是數系擴充的基本法則,它是在人類認識和運用數的歷史發展過程中,逐步形成的、不斷擴大數的範圍的一些基本原則。這些原則是:
從數系a擴充到數系b必須是a⊂b,即a是b的真子集;
數系a中定義了的基本運算能擴充套件為數系b的運算,且這些運算對於b中a的元來說與原來a的元間的關係和運算相一致;
3.a中不是永遠可行的某種運算,在b中永遠可行,例如,實數系擴充為複數系後,開方的運算就永遠可行,再如,自然數系擴充為整數系後,減法的運算就能施行等;
4.b是滿足上述條件的惟一的最小的擴充,例如,自然數系只能擴充為整數系,而不能一下擴充套件為實數系。還有一點必須明確:
數系a的每一次擴充,都解決了原來數系中的某些矛盾,隨之應用範圍擴大了。但是,每一次擴充也失去原有數系的某些性質,比如,實數系擴充到複數系後,實數系的順序性質就不復存在,即在複數系中不具有順序性。數系的擴充,一般採用兩種形式:
一種是首先從理論上構造乙個集合,即通過定義等價集合來建立新的數系,然後指出新的數系的一部分集合是和以前的數系同構的;另一種擴充形式則是把新元素加到已建立的數系中而擴充
數系的擴充過程 ,在人類文明史的發展過程中,先有正整數z+=n∗,但在z+中減法又不封閉:3−5=−2,不再屬於z+,為此引進新數z−和0,合成整數z。z=z+∪z−∪ 0 ,這是數系的第一次擴充。
在z內除法又不封閉:5 3∉z,為此引進新數:分數,合成有理數q=z∪ 分數 ,這是數系的第二次擴充。
在q內正數不能開偶次方: 2∉q,為此引進新數q ,合成新數r=q∪q . 在r內負數不能開偶次方, −2∉r,為此又要引進新數虛數r ,與實數r合成複數:
c=r∪r 。
數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集,了解它們之間的包含關係。
4樓:匿名使用者
**數系與數系的擴充
郭民(東北師範大學長春130024)
1數的起源與數系的發展
i.i自然數的產生
遠古人類如何創造了數已不可考,今天只能進行一些猜測:人類的祖先在起初時,也許只會用物物逐
一比較的辦法來分別多少,以後又學會了物與第三者(如人的手指,牆上的刻痕或懸掛的繩索等)來進行
間接的比較,從而逐漸產生了不依附於具體物件的「個數」概念。隨著生產和交換活動的不斷擴大,這種
「個數」概念也就逐漸被賦予了某種記號或語音,這就產生了最早的數。人類最初掌握的數是很少的,在近
代殘存的原始部落中,人們發現他們所掌握的數均未超過二十,這大概與人的手指和腳趾的總數是二十
有關。隨著人類社會的進步,數也不斷地發展完善,其中應當提一下的是進製記數法的產生。進製記數法,
就是運用少量的符號,通過它們不同個數的排列,去表示不同的數(如現在運用的十進位法)。進製記數法
的產生,使得記數的範圍得到無限的擴大,也使複雜的算術運算有了實施的可能。這標誌著人類掌握的數
的語言,已從少量的文字個體,發展到了乙個具有完善運算規則的數系。人類第乙個認識的這個數系,就
是常說的自然數系。當然,自然數系遠遠不是完美無缺的。由於自然數系是乙個離散的數系,因此它只限
於去表示乙個單位,為了創造乙個既符合實際又滿足於理論上的需要的強有力的工具,我們必須把數的
原始概念,即只把自然數當作數的這種概念,大大推廣。在乙個漫長而曲折的發展過程中,零、負整數、分
數逐漸取得了和正整數同樣的地位;而且今天這些數的運算規則已為普通中、小學校的學生所掌握。
1.2作為度f工具的有理數
自然數是從計算有限集合的元素的個數的過程中抽象出來的。但在日常生活中,我們不僅要數單個
的物件,而且也需要度量像長度、面積、重量和時間這樣的量。如果我們要能夠自如地度量這種能任意細
分的量,就必須把算術的範圍擴充套件到自然數的範圍之外,第一步是把度量的問題變為計數的問題。首先我
們任意地選擇乙個度量單位,比如英呎、英吋、磅、克或秒等等,當然我們選擇哪乙個度量單位根據實際情
況而定,並規定此度量單位為1,然後我們數一數被度量的那個量包含了多少個單位,例如某一塊金屬可
能恰好是37英磅,但是一般說來,算單位的個數的過程中,某結果不一定是「正好算完」,即給定的量不一
定恰好是我們所選擇的單位的整數倍。可以說,在大多數情況下它是介於這個單位的兩個相鄰倍數之間,
例如36磅和37磅之間。遇到這種情況時,我們可以通過把原單位分成n等分,引進乙個新的小單位。即
在數學的符號體系中,把原來乙個單位分為。等分而得到的小單位,用符號上來表示;如果乙個給定的量
恰好包含m個小單位,它的度量將用符號m來表示。這個符號稱為分數或比,人類在長期的社會生產實
踐中才認識到符號m脫離了它同測量過程及被測量的量的具體關係,而被看作是一種純粹的數,它本身
作為乙個實體與自然數有同樣的地位,當和是自然數時,我們稱符號m稱為有理數。引進有理數,除了
n有其「實際」的原因而外,還有乙個更內在的,從某些方面來看甚至是更為迫切的理由就是運算的封閉性。
在通常的自然數的算術中,我們總能進行兩個基本運算:加法和乘法,但是「逆運算」減法和除法並不總是
可行的。兩個整數a,6的差6-a是乙個使得a+c=6的整數。,即方程a+x=6有解。但在自然數的範圍內,符
號b-a僅限於6>a時才有意義,因為只有這時方程a+x=b才有乙個自然數的解x,通過引進了符號一1,-2,
-3 } ..,以及對6 n)},並且這個集合是乙個等價
類,等價關係是:
(m,n)一伽,q )tip+n=q+m,
我們把這個等價類記為.孤下萬。去掉限制m>n,我們就得到了負整數和零。
定義4在笛卡爾積nxn中定義乙個關係如下:
(m,n)一((p ,q )tip+n=q+m,
則「一」為一等價關係,等價類
(m,n)=9)一(m,n)
稱為整數商集。
z=nxni}=
稱為整數集。
進而可以在z中定義加法、乘法;可以證明對加法存在零元(記作0),0軟不1萬,關於加法構成交換群;
還可以證明對乘法存在單位元1=.(2,1),以及乘法對於加法是雙側分配的,因此,(z,+,")是乙個帶單位
元1}0的交換環,注意到va,6 e z,從a"b=0可推出二0或6=0,所以(z,+,)是乙個整環。
2.2從整數集到有理數集的擴充
從自然數集擴充到整數集是為了對daen,使加法有逆元,也即要使減法永遠可施行。為了使整數集
中每一非零元關於乘法有逆元,即使除法(除數不為零)永遠可施行,需將整數集再擴充為有理數集,方法
仍然是在原有集z中引人等價關係,劃分等價類。因為除數不能為零,所以要對笛卡爾積稍作處理,記z,=
z-(o )。
在卡氏積zxz'中定義一關係如下:設(a,6),(c,d)ezxz'。則(a,6)一(c,d)t}bc=ad可以證明「一」是一
個等價關係,事實上,我們有:
(1)ab=ab,所以(a,b卜(a}b),自反性成立。
(2)若(a,6)一(c,d),則bc=ad,所以da=cb,推出(c,d)一(a,6),即對稱性成立。
(3)若(a,b卜(c,d)且(c,d卜(e刀。則有bc=ad且de=cf}bcde=adef,即(動" (cd)二(be) " (cd),考慮到
z是整環,所以be=of,於是((a,6)一((e刃。即傳遞性成立。
定義5等價類
(a,6)二
稱為有理數,有時為了方便,將丈萬兩萬記為_a6,商集
q=zxz,一
稱有理數集。
進而可在q中定義加法(+)、乘法(·),並可證明((q}+)是乙個交換群,(q,·)是乙個帶單位元的交換
半群,(q}+} ")是乙個帶單位元的交換環,還可以證明(q』,·)(其中q}=q_}0))是交換群。因此(q}+}')是
乙個域,即有理數域。
2.3從有理數集到實數集的擴充
從有理數集到實數集的擴充是為了使開方運算永遠可施行只是其一方面。
開方運算結果所得的數,而是有理數叫(1+ n )n} '} n-}+oo時的極限
因為像數。,它並不是乙個
而√2也是有理數列:
1,1.4,1.41,1.414,}}}(√2的不足近似值所組成的數列)的極限。因此從有理數集到實數集的擴充是為了
解決極限運算封閉的問題,擴充的思想方法與從自然數集到整數集的擴充、從整數集到有理數的擴充是
類似的,只是具體做法有所不同而已。
參考文獻:
[1]胡炳生等.現代數學觀點下的中學數學.北京:高等教育出版社,1999.
[2]張楚廷.數學文化.北京:高等教育出版社,2000.
[3]歐陽絳.數學的藝術.北京:農村讀物出版社,1997.
[4]劉意竹等.小學數學教材教法.北京:人民教育出版社,1994.
數系的每一次擴充都與什麼密切相關
5樓:男男男男
現在已有的是複數和四元數,百度百科上都有的 複數的擴張 複數概念的進化是數學史中最奇特的一章,那就是數系的歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。
人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之後,才去嘗試新的征程。
複數的數系理論，比復數更大的數系
比復數更大的數系 應該有。1.四元數。哈密頓提出 哈密頓四元陣列可以看作複數的擴充。它是形如a bi cj dk的數，其中a,b,c,d是實數，而i,j,k滿足i 2 j 2 k 2 1,ij jk ki 1.維向量空間 即超複數 由格拉斯曼最先提出。對於i j k本身的幾何意義可以理解為一種旋轉，...
099按優先數系取多少,優先數系的應用優先數系的要點和原則
0.99按照優先數系就選1就可以了。優先數系有很多，常用的有r5 r10 優先數系的應用優先數系的要點和原則 1.在確定產品的引數或引數系列時，如果沒有特殊原因而必須選用其他數值的話，只要能滿足技術經濟上的要求，就應當力求選用優先數，並且按照r5 r10 r20和r40的順序，優先用公比較大的基本系...
簡述遵循發展適宜性原則的幾層含義
發展適宜性原則是指 幼兒園環境創設 要符合幼兒的年齡特徵及身心健康發展的需要，促進bai每個幼兒全面 發展適宜性課程的目標 即發展自我價值感和自信心，信任和尊重別人的能力，有效的社會交往技能 交流能力和對社會環境的理解 問題解決能力以及周圍世界的好奇心和培養對學習的興趣等。發展適宜性課程的作用是促進...