1樓：匿名使用者
g是交換群，g中的群運算記成加法。g的單位元記成0。對於g中的元素x和y，以-y記y的逆元，x-y表示x+(-y)。
第一問。假定x 是f^(-1) f(h)裡的元素，那麼f(x)在f(h)裡，就是說存在h中的元素h，使得f(x)=f(h)。由於f是同態，所以f(x-h)=f(x)-f(h)=0，這裡減法和0的意義如上一段所述。
那麼x-h在ker(f)裡。所以x=h+(x-h)在h+ker(f)裡。
第二問。就用h表示這個子群了，不寫那個撇了。
先要證f f^(-1) (h) 在h交im(f)裡。對於f f^(-1) (h)裡的任意乙個元素y，有乙個f^(-1) (h)裡的元素x，使得y=f(x)。那麼現在y=f(x)就在h裡，也在im(f)裡。
再證左邊包含右邊。假如y在h裡，也在im(f)裡，那麼存在乙個x使得y=f(x)。於是f(x)在h裡，就是說x在f^(-1) (h)裡，那麼y=f(x)就包含在等式左邊的那個集合裡。
這就是第二問的證明。就是把那些集合都寫出來而已。
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