乙個極限問題，有關e 2 71828 ）

1樓：網友

1+1/n))^n=1^n

這一步錯了1/n雖然趨向於無窮小，但不能在計算中簡單將其捨去。一次數學危機就是由於當時的數學家的這種隨意的捨去造成的。建議你學一下微積分的基礎課程，這種基礎的東西我也難很快給你講清楚，但無窮小量決不能再隨意捨去。

另外，lim(n趨向正無窮）(1+n）^（1/n）= 1，等你學會了微積分基礎自然也就算得出來了。

lim(n趨向正無窮）(1+n）^（1/n）= 1證明如圖，不太清晰，其中第七行為對f(x)求導，得出f(x)在定義域上減，從而有之後推論。

lim(n趨向正無窮）(1+1/n)^n 是e的定義，應當不用證了吧。

2樓：網友

你們都沒有說到點子上去，首先無窮小是乙個變數，它的含義是比小給的任意數都要小，這點很重要，無窮大的含義類似，是比你給的任意數都要大。

做指數的極限題目時最好是這樣做：求lim（x趨向於無窮或0）f（x）^g（x）=e^g（x）*lng（x）。

所以lim(n趨向正無窮）(1+1/n)^n =lime^n*ln（1+1/n），因為limn*ln（1+1/n）=1，所以所求極限為e（這就是樓上們都說的不用證明的，事實上這樣就已經證明了）同樣的，lim(n趨向正無窮）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用羅比達法則求出極限為0，所以所求極限為1,第三題稍微難一點lim(n趨向正無窮)(n!)^1/n）=e^1/n*（ln1+ln2+……lnn）而lim1/n*（ln1+ln2+……lnn）=lim1/n*（ln1/n+ln2/n+……lnn/n+nlnn）=∫上限為1，下限為0）lnxdx（這是個反常積分，不過是收斂的）+lnn=-1+lnn，所以lim(n趨向正無窮)(n!)^1/n）=limn*e^(-1）=∞

二樓的還行，三樓說的雖然多，不過沒有說到點子上。關於什麼時候可以捨去無窮小，什麼時候不可以？再求lim(n趨向無窮或零）f（n）=？

時記住它的含義是求n趨向無窮或零時，f（n）趨向於多少？所以只有f（n）中的單獨無窮小量才會在nn趨向無窮或零時趨向於零，或者說是在這個無窮小量周圍只有加減，沒有乘除，沒有冪，他才一定是無窮小量。當然這個無窮小量也可以是包括冪運算的整體。

lim(n趨向正無窮）(1+n）^（1/n）=1不是因為lim(1+n）^（1/n）=lim(1+n）^0=1~而是因為lim(n趨向正無窮）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用羅比達法則求出極限為0，所以所求極限為1

這樣你總明白了吧。

3樓：

1、先說這個無窮小吧？

簡單來說就是你捨去之後，不能對式子中的其他部分造成「質的」影響，這點書上沒講。比如無窮小量的代換，本質上就是捨去高階無窮小，保留低階我窮小，就是無窮小的取捨問題。無窮小量不是什麼時候都可以代換的。

如：當x趨近0時，(x^5+x)^2中的x^5是高階無窮小，可以忽略，因為忽略後不改變式子的無窮小的階數，都是2階；但是在(x^5+x)^2-x^2中，x^5就不能忽略，忽略之後這個式子就變成了0了，不折不扣的0啊，其實它是我窮小，6階無窮小，並不是0啊。

一般來說，多個無窮小連乘或相除，可以忽略；但如果是相加減，或無窮小與無窮大相乘時，忽略是應該倍加小心。在這裡，我強烈推薦給你乙個我過的關於這方面的問題，你好好研究研究。

2、能不能先求一部分極限。

你所舉得那兩個例子是萬萬不能先求一部分的，先求哪一部分都不行。（1+1/n)^n中，1+1/n的極限的確是1，其實你要記住，求極限本身是一種近似，它也牽扯到無窮小的取捨問題。在1+1/n中1/n是無窮小，可以忽略，但在（1+1/n)^n中，1/n可不「小」啊，我的意思是他的影響不小，雖然是它本身很小，因為它的「頭上」有個n（無窮大）次冪。

有些式子就沒有那麼多的問題，例如，但（sinx/x）·7x/arctanx,這個就可以先算一部分，得7x/arctanx，為什麼它可以先忽略sinx/x的無窮小呢？其實它忽略的是這個無窮小在乘上7x/arctanx，但是從整體上來看（這個很重要，一定要看整體，不能只看區域性），這一次所忽略的部分相對於保留下來的部分（7x/arctanx）來說，確實是無窮小，可以忽略。而）(1+1/n)^n不一樣啊，你忽略的是無窮小的n次冪（不確定是個什麼東西，可能很大），而保留的僅僅是1^n=1,你說對不對呢？

n!)^1/n)分析類似。

3、lim(n趨向正無窮）(1+1/n))^n=e，這個不用證明吧？我所見過的書都是僅僅證明了該極限存在，沒證明是e啊。遞增，且小於3，所以極限存在。

不知你明白了沒有，不明白可以在找我，咱用qq聊，我保證你明白。明白了再給我分。

4樓：網友

準確的說，無窮小並不是個數（不在非標準分析裡的話），在這些題裡，所謂的「無窮小」事實上是指乙個「當自變數趨於指定值時無限逼近零」的表示式。很遺憾的說，除了一些比較顯然的情況外，並沒有判斷無窮小是否可以捨去的通用方法。只能具體問題具體分析（關鍵是看這個表示式的趨向變化）。

而且一般來說題目裡的無窮小量是不可以捨去的（否則太簡單）。做極限題目就是看目標式的變化趨勢，而不是做乙個靜態的式子。

想要舒服的做題，最有效的方法：第一要多看書，第二要多做題。。。實話。

至於那個變數在指數上的問題的話，通過取對數。冪就變成乘式了。。以這個極限為例，(1+1/n)^n=e^(n*ln(1+1/n)),當n->無窮時，由等價無窮小量代換，ln(1+1/n)~1/n,則n*ln(1+1/n)~n*1/n=1,所以當n->無窮時，原式->e^1=e完畢。

求解答極限問題，快期末了

乙個有關感情的問題

我和你的情況差不多，聽到他不能承諾什麼覺得有些失望。但是，請你想兩個方面 1 進一步講，他希望你們都冷靜下來，不要頭腦一熱就給對方那麼多漂亮的期待，畢竟我們不能看到未來，不知道將來會發生什麼。誰也不能要求對方去等，因為那樣是自私的。四年呢，一年兩年可以，三年四年我們又可以預知什麼呢？如果輕易給你的希...