1樓：新野旁觀者
1．「數學是研究現實世界的空間形式和數量關係的科學」
眾所周知,關於數學的這個定義是恩格斯提出來的.事實上,恩格斯的這個定義,很多年以來,就是國內和國際數學界與哲學界公認的最權威的定義,最新版(2023年版)的《現代漢語詞典》仍然是這樣來定義數學的——「研究現實世界的空間形式和數量關係的學科」.20世紀以來,新的數學分支不斷產生,純數學越來越抽象,它與現實世界之間的距離似乎越來越遠；同時,應用數學在現實世界中的涉及面空前廣泛且越來越廣泛,數學的研究物件似乎不僅僅是空間形式與數量關係；而且,有不少研究者從自己的認識出發,提出了關於數學的多種定義.
於是乎,近些年有人就認為恩格斯給數學所下的定義過時了或「遠遠不夠了」.這樣的認識是片面的,因為事實並非如此.匡繼昌先生深刻分析了「數學是什麼」,認為「數學的定義應該反映數學研究的物件及其本質屬性」,「只有從唯物辯證法的哲學高度,才能認清現實世界的數量關係和空間形式不是固定不變的,而是其內涵不斷加深,外延不斷拓廣的」,所以,「恩格斯關於『數學是什麼』的論斷並未過時」.
2．數學是系統化了的常識
這是國際著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾的觀點.他認為數學的根源是普通常識,作為常識的數學,隨著語言從說話到閱讀和寫作的不斷進步與發展,也不斷地進步與發展著.如數概念的獲得,主要是由口頭語言中相應的數詞來支援的(如從乙個人、一支筆、……,得到「1」),在這個過程中,首先是數學思想的語言表達.
普通常識是有等級的,普通常識由經驗上公升成規律後,這些規律再次成為普通常識,即較高層次的常識.弗賴登塔爾曾經說過：「為了真正的數學及其進步,普通的常識必須要系統化和組織化.
如同以前一樣,普通常識的經驗被結合成為規律(比如加法的交換律),並且這些規律再次成為普通的常識,即較高層次的常識.作為更高層次數學的基礎——乙個巨大的等級體系,是由於非凡的相互影響的力量來建立的.」
3．數學是人為規定的一套語言、符號系統
這是部分數學史家們的看法.持這種觀點的人雖然不多,但很有代表性,它給了我們認識「數學是什麼」的乙個新角度.翻開一部數學史,除了早期的數學與生活有著非常高的關聯度,還需借助現實的生活事實去解釋外,後來的數學就越來越關注自己的「語言、符號」了.
這種現象最早可追溯到歐幾里得的《幾何原本》,到了現代,數學的這種特性表現得更加充分.
當然,數學作為人為規定的一套語言、符號系統,必須要有一定的條件.通俗點講,就是這套語言、符號系統必須能自圓其說,高雅點講,這套系統必須是完備的.舉例來說,如果你規定1+1=3,在此基礎上去構造一套語言、符號系統,並且能自圓其說,也許乙個新的數學分支就誕生了.
數學史上不乏這樣的先例.如伽羅瓦的群論,康托爾的集合論等等,當初他們出現在數學家們的眼前時,並不為大家所認可.但事實證明,這些是數學,而且是非常重要的數學.
由於康托爾的集合論在自圓其說方面有一點小小的問題,從而導致了歷史上的一次嚴重的數學危機.隨著這一危機的解決,集合論變得更加完備,數學的基礎變得更加穩固.集合論的創立是數學史上的乙個巨大成就,以至於今天的小學數學教學中,都必須滲透集合論的思想,從而提高學生的數學認知能力.
4．數學是確定無疑的絕對真理
這是一些數學家和數學哲學家們的觀點.對於他們而言,任何知識都可能出錯,唯獨只有數學是不會出錯的,是可*知識的唯一代表.在他們看來,演繹法為數學知識是絕對真理提供了保證.
首先,數學證明中的基本陳述視其為真,數學公理假定為真,數學定義令其為真,邏輯公理認其為真.其次,邏輯推理規則保持真理性即只承認由真理推導出來真理.以上述兩個事實為基礎,可知演繹證明中的每個陳述包括它的結論都為真.
於是,「由於數學定理都是由演繹證明所確定,因此它們都是可*真理.這就形成了許多哲學家所斷言的數學真理就是可*真理的基礎」.(歐內斯特語)
在這種觀點之下,如果數學出現了矛盾或問題,那不是數學本身的錯,而是人們的認識還未到達相應的境界,數學家和哲學家們會想辦法去解決這些矛盾和問題,解決矛盾和問題的過程本身又促進了數學的發展.如π的出現,對於古希臘的數學家們來說,猶如晴天劈靂,難以接受,故而將其稱為「無理數」.然而,正是為了使「無理」變得「有理」,數概念的範圍從有理數擴充套件到了實數,促進了數學的發展.
後來為了解決函式論和集合論中的一些矛盾,數學哲學也得到了較大發展,形成了邏輯主義、形式主義和構造主義(包括直覺主義)三大學派.
5．數學是可誤的且可糾正的
這是部分數學哲學家們的觀點,他們反對數學是絕對真理的主要理由是絕對觀可歸結為「假設——演繹」方法,數學真理和證明依據演繹和邏輯,但邏輯本身缺乏可*基礎,它還要依據不可簡約的假設.「但任何沒有堅實基礎的假設,不管它是從直覺、約定、意義或以其他任何方式所匯出的,都是可誤的.」(林夏水語)因此,他們認為數學是可糾正的且永遠要接受更正.
小學數學中解決問題的策略有哪些
2樓：淵源
要提高學生解決問題的能力，關鍵是要加強對學生進行解決
3樓：牛頓的喵
列表逆推轉化，列舉假設畫圖願採納
數學的本質是什麼
4樓：百度文庫精選
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原發布者:龍源期刊網
數學的教學不僅要傳授數學知識，更重要的是要發展學生的數學思維能力，這就要求我們在數學教學中關注數學的本質。所謂數學的本質，就是指數學本身所固有的、決定數學學科性質、面貌和發展的根本屬性。從微觀上說，數學本質就是具體數學內容的本質意義。
因此，在教學中我們就得抓住「對基本數學概念的理解；對數學思想方法的把握；對數學特有思維方式的感悟；對數學美的鑑賞；對數學精神（理性精神與**精神）的追求」。
在數學教學的實踐、交流、研討中，筆者深刻感受到由於一些數學教師身上數學涵養的缺失引起了對數學課本質的把握不當，使得數學的課堂中出現了種種弊端，以下就通過四個案例來詮釋這個現象。
一、數學課成了常識課
【案例1】三年級下冊《年、月、日》的教學片斷中，教師安排了3個環節：
（1）理清年、月、日的關係。首先學生通過觀察、討論準備好年曆卡，小組內整理出粗淺的年、月、日的知識，接著通過師生共同整理，獲得年、月、日的知識。
（2）認識大月、小月。首先教師通過傳授的方法，告訴學生大月、小月、平月的知識。接著讓學生通過數拳頭、編口訣等方法記住大月、小月、平月，最後在遊戲中鞏固新知。
（3）平年、閏年的認識、判斷和計算。首先教師讓學生匯報在觀察年曆卡的過
5樓：匿名使用者
網上資料：
1．「數學是研究現實世界的空間形式和數量關係的科學」
眾所周知，關於數學的這個定義是恩格斯提出來的。事實上，恩格斯的這個定義，很多年以來，就是國內和國際數學界與哲學界公認的最權威的定義，最新版(2023年版)的《現代漢語詞典》仍然是這樣來定義數學的——「研究現實世界的空間形式和數量關係的學科」。20世紀以來，新的數學分支不斷產生，純數學越來越抽象，它與現實世界之間的距離似乎越來越遠；同時，應用數學在現實世界中的涉及面空前廣泛且越來越廣泛，數學的研究物件似乎不僅僅是空間形式與數量關係；而且，有不少研究者從自己的認識出發，提出了關於數學的多種定義。
於是乎，近些年有人就認為恩格斯給數學所下的定義過時了或「遠遠不夠了」。這樣的認識是片面的，因為事實並非如此。匡繼昌先生深刻分析了「數學是什麼」，認為「數學的定義應該反映數學研究的物件及其本質屬性」，「只有從唯物辯證法的哲學高度，才能認清現實世界的數量關係和空間形式不是固定不變的，而是其內涵不斷加深，外延不斷拓廣的」，所以，「恩格斯關於『數學是什麼』的論斷並未過時」。
2．數學是系統化了的常識
這是國際著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾的觀點。他認為數學的根源是普通常識，作為常識的數學，隨著語言從說話到閱讀和寫作的不斷進步與發展，也不斷地進步與發展著。如數概念的獲得，主要是由口頭語言中相應的數詞來支援的(如從乙個人、一支筆、……，得到「1」)，在這個過程中，首先是數學思想的語言表達。
普通常識是有等級的，普通常識由經驗上公升成規律後，這些規律再次成為普通常識，即較高層次的常識。弗賴登塔爾曾經說過：「為了真正的數學及其進步，普通的常識必須要系統化和組織化。
如同以前一樣，普通常識的經驗被結合成為規律(比如加法的交換律)，並且這些規律再次成為普通的常識，即較高層次的常識。作為更高層次數學的基礎——乙個巨大的等級體系，是由於非凡的相互影響的力量來建立的。」
3．數學是人為規定的一套語言、符號系統
這是部分數學史家們的看法。持這種觀點的人雖然不多，但很有代表性，它給了我們認識「數學是什麼」的乙個新角度。翻開一部數學史，除了早期的數學與生活有著非常高的關聯度，還需借助現實的生活事實去解釋外，後來的數學就越來越關注自己的「語言、符號」了。
這種現象最早可追溯到歐幾里得的《幾何原本》，到了現代，數學的這種特性表現得更加充分。
當然，數學作為人為規定的一套語言、符號系統，必須要有一定的條件。通俗點講，就是這套語言、符號系統必須能自圓其說，高雅點講，這套系統必須是完備的。舉例來說，如果你規定1+1=3，在此基礎上去構造一套語言、符號系統，並且能自圓其說，也許乙個新的數學分支就誕生了。
數學史上不乏這樣的先例。如伽羅瓦的群論，康托爾的集合論等等，當初他們出現在數學家們的眼前時，並不為大家所認可。但事實證明，這些是數學，而且是非常重要的數學。
由於康托爾的集合論在自圓其說方面有一點小小的問題，從而導致了歷史上的一次嚴重的數學危機。隨著這一危機的解決，集合論變得更加完備，數學的基礎變得更加穩固。集合論的創立是數學史上的乙個巨大成就，以至於今天的小學數學教學中，都必須滲透集合論的思想，從而提高學生的數學認知能力。
4．數學是確定無疑的絕對真理
這是一些數學家和數學哲學家們的觀點。對於他們而言，任何知識都可能出錯，唯獨只有數學是不會出錯的，是可*知識的唯一代表。在他們看來，演繹法為數學知識是絕對真理提供了保證。
首先，數學證明中的基本陳述視其為真，數學公理假定為真，數學定義令其為真，邏輯公理認其為真。其次，邏輯推理規則保持真理性即只承認由真理推導出來真理。以上述兩個事實為基礎，可知演繹證明中的每個陳述包括它的結論都為真。
於是，「由於數學定理都是由演繹證明所確定，因此它們都是可*真理。這就形成了許多哲學家所斷言的數學真理就是可*真理的基礎」。(歐內斯特語)
在這種觀點之下，如果數學出現了矛盾或問題，那不是數學本身的錯，而是人們的認識還未到達相應的境界，數學家和哲學家們會想辦法去解決這些矛盾和問題，解決矛盾和問題的過程本身又促進了數學的發展。如π的出現，對於古希臘的數學家們來說，猶如晴天劈靂，難以接受，故而將其稱為「無理數」。然而，正是為了使「無理」變得「有理」，數概念的範圍從有理數擴充套件到了實數，促進了數學的發展。
後來為了解決函式論和集合論中的一些矛盾，數學哲學也得到了較大發展，形成了邏輯主義、形式主義和構造主義(包括直覺主義)三大學派。
5．數學是可誤的且可糾正的
這是部分數學哲學家們的觀點，他們反對數學是絕對真理的主要理由是絕對觀可歸結為「假設——演繹」方法，數學真理和證明依據演繹和邏輯，但邏輯本身缺乏可*基礎，它還要依據不可簡約的假設。「但任何沒有堅實基礎的假設，不管它是從直覺、約定、意義或以其他任何方式所匯出的，都是可誤的。」(林夏水語)因此，他們認為數學是可糾正的且永遠要接受更正。
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