1樓：
不含質數
(2^p-1)的真因子，即2^(p-1)的真因子有p-1個（包括1）並且成等比數列，和s=(1-2^(p-1))/(1-2)=2^(p-1)-1
對應的，含質數(2^p-1)的真因子也有p-1個，即上面的所有真因子×(2^p-1)
顯然，其和=s*(2^p-1)
所以(2^p-1)x2^(p-1)的所有真因子和＝s+s*(2^p-1)＝(2^p-1)×2^(p-1)＝本身
所以(2^p-1)x2^(p-1)是乙個完全數。得證。
如何證明這種歐幾里得演算法的正確性
2樓：蕭甜舔
歐幾里德演算法又稱輾轉相除法,用於計算兩個整數a,b的最大公約數.其計算原理依賴於下面的定理：
定理：***(a,b) = ***(b,a
mod b)
證明：a可以表示成a = kb +
r,則r = a mod b
假設d是a,b的乙個公約數,則有
d|a,
d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a
mod b)的公約數
假設d 是(b,a
mod b)的公約數,則
d | b ,d
|r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod
b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證
歐幾里德演算法就是根據這個原理來做的,其演算法用c++語言描述為：
int***(int a,int b)
當然你也可以寫成迭代形式：
int***(int a,int b)
returna;}
本質上都是用的上面那個原理.
補充:擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a,
b求解一組x,y使得a*x+b*y=***(a,b)(解一定存在,根據數論中的相關定理).擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中.下面是乙個使
用c++的實現：
&y)int r =
ex***(b,a % b,x,y);
int t =
x;x =
y;y = t - a
/ b * y;
returnr;}
把這個實現和***的遞迴實現相比,發現多了下面的x,y賦值過程,這就是擴充套件歐幾里德演算法的精髓.
可以這樣思考:
對於a' = b,
b' = a % b 而言,我們求得 x,y使得 a'x + b'y = ***(a',b')
由於b' = a
% b = a - a / b * b (注：這裡的/是程式語言中的除法)
那麼可以得到:
a'x + b'y
= ***(a',b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = ***(a',b') = ***(a,b)
===>
ay +b(x - a / b*y) = ***(a,b)
因此對於a和b而言,他們的相對應的p,q分別是
y和(x-a/b*y).
在網上看了很多關於不定方程方程求解的問題,可都沒有說全,都只說了一部分,看了好多之後才真正弄清楚不定方程的求解全過程,步驟如下：
求a * x
+ b * y = n的整數解.
1、先計算***(a,b),若n不能被***(a,b)整除,則方程無整數解；否則,在方程兩邊同時除以***(a,b),得到新的不定方程a'
* x + b' * y = n',此時***(a',b')=1;
2、利用上面所說的歐幾里德演算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一組整數解x0,y0,則n' * x0,n' *
y0是方程a' * x + b' * y = n'的一組整數解；
3、根據數論中的相關定理,可得方程a'
* x + b' * y = n'的所有整數解為：
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t為整數)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整數解.
步驟如下：
擴充套件歐幾里德演算法－求解不定方程,線性同餘方程：
解不定方程ax + by = n的步驟如下:
(1)計算***(a,b).若***(a,b)不能整除n,則方程無整數解；否則,在方程的兩邊同除以***(a,b),
得到新的不定方程a'x + b'y = n',此時***(a',b') = 1
(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一組整數解x0,y0,則n'x0,n'y0是方程a'x + b'y = n'的一組整數解.
(3)根據&@^%w#&定理,可得方程a'x + b'y = n'的所有整數解為：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t為整數)
這也就是方程ax + by = n的所有整數解
利用擴充套件的歐幾里德演算法,計算***(a,b)和滿足d = ***(a,b) = ax0 + by0的x0和y0,
也就是求出了滿足a'x0 + b'y0 = 1的一組整數解.因此可得：
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整數)
program oujilide;
var i,j,a,b,c,d,x,y:longint;
function ***(a,b:longint):longint;
var i:longint;
begin
if a=0 then exit(b);
if b=0 then exit(a);
***:=***(b,a mod b);
end;
procedure extend_***(a,b:longint;var x,y:longint);
var i,j:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1;
y:=0;
exit
end;
extend_***(b,a mod b,x,y);
i:=x;
x:=y;
y:=i-(a div b)*x;
end;
begin
assign(input,'oujilide.in');
reset(input);
assign(output,'oujilide.out');
rewrite(output);
read(a,b,c);
d:=***(a,b);
if c mod d=0 then begin a:=a div d; b:=b div d; c:=c div d; end
else begin writeln('no answer!'); exit; end;
extend_***(a,b,x,y);
x:=c*x;
y:=c*y;
writeln(x,' ',y);
end.
歐幾里得的人物故事
3樓：萬里長城
懂幾何者
歐幾里得（euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者。歐幾里得出生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。
一天，一群年輕人來到位於雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學園。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌。上面寫著：
「不懂幾何者，不得入內! 」這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊塗了。
有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什麼?正在人們面面相覷，不知是進是退的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然後果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。
量金字塔
那時候，人們建造了高大的金字塔，可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這麼說：「要想測量金字塔的高度，比登天還難！」這話傳到歐幾里得耳朵裡。
他笑著告訴別人：「這有什麼難的呢？當你的影子跟你的身體一樣長的時候，你去量一下金字塔的影子有多長，那長度便等於金字塔的高度！」
4樓：格雷
歐幾里得（euclid）是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者。歐幾里得出生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。
一天，一群年輕人來到位於雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學園。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：「不懂幾何者，不得入內!
」這是當年柏拉圖親自立下的規矩，為的是讓學生們知道他對數學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊塗了。有人在想，正是因為我不懂數學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什麼?正在人們面面相覷，不知是進是退的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然後果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。
最早的幾何學興起於西元前7世紀的古埃及，後經古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學派系統奠基。在歐幾里得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在乙個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性。大多數是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯絡性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明。
因此，隨著社會經濟的繁榮和發展，特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統化，成為一整套可以自圓其說、前後貫通的知識體系，已經是刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨。歐幾里得通過早期對柏拉圖數學思想，尤其是幾何學理論系統而周詳的研究，已敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢。
他下定決心，要在有生之年完成這一工作，成為幾何第一人。為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山卓城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現自己的初衷。在此地的無數個日日夜夜裡，他一邊收集以往的數學專著和手稿，向有關學者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學的理解，哪怕是尚膚淺的理解。
經過歐幾里得忘我的勞動，終於在西元前300年結出豐碩的果實，這就是幾經易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學正是有了它，不僅第一次實現了系統化、條理化，而且又孕育出乙個全新的研究領域——歐幾里得幾何學，簡稱歐氏幾何。直到今天，他所創作的幾何原本仍然是世界各國學校裡的必修課，從小學到初中、大學、再到現代高等學科都有他所創作的定律、理論和公式應用。
在柏拉圖學派晚期導師普羅克洛斯（約410～485）的《幾何學發展概要》中，就記載著這樣一則故事，說的是數學在歐幾里得的推動下，逐漸成為人們生活中的乙個時髦話題(這與當今社會截然相反)，以至於當時亞里山大國王托勒密一世也想趕這一時髦，學點兒幾何學。
雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻令他學的很吃力。於是，他問歐幾里得「學習幾何學有沒有什麼捷徑可走？」，歐幾里得笑道：
「抱歉，陛下!學習數學和學習一切科學一樣，是沒有什麼捷徑可走的。學習數學，人人都得獨立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收穫的。
在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的。」 從此,「在幾何學裡,沒有專為國王鋪設的大道。」這句話成為千古傳誦的學習箴言。
此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數做了**，他通過 2^(n-1)·(2^n-1) 的表示式發現頭四個完全數的。
當 n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 當 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 當 n= 5:
2^4(2^5-1) = 496 當 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 乙個偶數是完全數，當且僅當它具有如下形式：2^(n-1).
(2^n-1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由尤拉所證明。
其中2^（n）-1是素數，上面的6和28對應著n=2和3的情況。我們只要找到了乙個形如2^（n）-1 的素數（即梅森素數），也就知道了乙個偶完全數。在手算時代梅森素數可使人們更方便的計算完全數，在計算機時代更是得到了廣泛深入的應用，計算機的cpu可以更方便的計算各種數。
儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。
首五個完全數是：628
4968128
33550336(8位) 《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造性於一體的不朽之作。這部書已經基本囊括了幾何學從西元前7世紀的古希臘，一直到西元前4世紀——歐幾里得生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。
它不僅儲存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述，使這些遠古的數學思想發揚光大。它開創了古典數論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。
全書共分13卷。書中包含了5條「公理」、5條「公設」、23個定義和467個命題。
在每一捲內容當中，歐幾里得都採用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然後再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。
而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的**。
照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最後做出結論。對後世產生了深遠的影響。
他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。
這一方法後來成了建立任何知識體系的典範，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。
除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳。歐幾里得還有另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣，內容都包含定義及證明。
《已知數》（data）是除《原本》之外惟一儲存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題。指出若圖形中某些元素已知，則另外一些元素也可以確定。
《圓形的分割》（on divisions of figures）現存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分，內容與希羅（heron of alexandria）的作品相似。
《反射光學》（catoptrics）論述反射光在數學上的理論，尤其論述形在平面及凹鏡上的影象。可是有人置疑這本書是否真正出自歐幾里得之手，它的作者可能是提奧（theon of alexandria）。
《現象》（phenomena）是一本關於球面天文學的**，現存希臘文本。這本書與奧托呂科斯（autolycus of pitane）所寫的on the moving sphere相似。
《光學》（optics）早期幾何光學著作之一，現存希臘文本。這本書主要研究透視問題，敘述光的入射角等於反射角等。認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。
還有一些著作未能確定是否屬於歐幾里得，而且已經散失。
如何證明素數的個數是無限的，歐幾里得怎麼證明質數個數是無限的
素數與公因數 1 素數 我們知道，大於1，並且除1和它本身外沒有其他因數的自然數叫素數 或質數 2是最小的素數，除2以外，所有的偶數都不是素數。按順序，下列為一個小素數序列 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，不是素數的整數a 1稱為合數。例...
如何把EXCEL用公式計算的數轉換為可以複製貼上的數呢
選擇性貼上為 數值 如圖所示 試試吧，但願能夠幫助您！公式計算完的數，你複製一下，貼上時，選擇 選擇性貼上 選一下項 數值 就可以。複製 在所在貼上的單元格右鍵單擊 選擇性貼上 數值。使用選擇性貼上 數值 excel版本參考 2010 1 選中公式區域 2 右擊 複製 3 右擊選擇性貼上 數值 右擊...
如何求小數的近似數，如何求乙個小數的近似數
求乙個小數的近似數,要根據需要用 四捨五入 法保留小數數字.保留整數,表示精確到 個 位 保留一位小數,表示精確到 十分 位 保留兩位小數,表示精確到 百分 位 求乙個小數的近似數可以用什麼法 求乙個小數的近似抄 數可以用四捨五入法 進一法和去尾法。1.四捨五入法 在取小數近似數的時候，如果尾數的最...