1樓：
在矩形中，長寬以及對角線都是整數意味著，在由長（a）寬（b）和對角線（c）構成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均為正整數。
所以a,b,c滿足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均為正整數）
所以矩形面積為s=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3餘數相同，即m≡n(mod 3)，則m-n必能被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數對為<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分別除以3後，餘數之和為3或0，則(m+n)必能被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數對為<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有乙個除以3餘0，則m和n中有乙個必能被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數有乙個為0的所有情況）
上面三種情況包含了所有餘數的情況。
綜上所述，s總能被12整除，所以這個矩形的面積必為12的倍數。
2樓：網友
對角線的長度為長的平方加上寬的平房（勾股定律），因為長寬對角線均為整數，所以長寬對角線分別對應3，4，5或5，12，13的倍數，因為只有這兩組勾股數是整數，所以面積也為12的倍數。
3樓：韓增民松
長方形對角線\長\寬均為正整數，則它的面積是12的倍數為什麼？
設矩形寬為x，長為y，對角線為y+1
x^2+y^2=y^2+2y+1==>2y+1=x^2x,y為整數。
x^2必奇數==>x必為奇數。
令x=2n+1 (n=n+)
x^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2y+1y=2n(n+1)
矩形面積=xy=2n(n+1)(2n+1)當n=1時，xy=2*1*2*3=12
當n為大於1的整數時，xy必為12的倍數。
若長方形對角線\長\寬均為正整數,則它的面積是12的倍數,為什麼?
4樓：邶瑤況培
a^2+b^2=c^2且a,b,c均為正整數（a為長，b為寬）
所以a,b,c滿足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均為正整數）
所以矩形面積為s=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3餘數相同，即m≡n(mod
3)，則m-n必能被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是手遊偶數，所以s能被12整除；（包含餘數對為<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分別除以3後，餘數之和為3或0，則(m+n)必能被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數對為<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有乙個除以3餘0，則m和n中有乙個必能清蘆被3整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數有乙個畢正銷為0的所有情況）
上面三種情況包含了所有餘數的情況。
綜上所述，所以這個矩形的面積必為12的倍數。
5樓：彭山槐友頎
長方形可以分成兩個直角三角桐侍判形，對吧？兩個直角三角形的三邊都是正整數，則它滿足勾股定理，可能是3，4，5（或者擴大倍數），也可能是5，12，局改13.（同理）——我現在只想到這兩組勾股數。。
談大。你按照這樣算下，則他們形成的長方形都是12的倍數。
6樓：多竹青旁昭
不知這方法行不，直三角，令直角邊為a和b,斜邊為c. a不等於b,如果等，c會帶跟號2. 所以a+b>根號2c, 因為整數，所以a+b>=2+c,(跟據三角中，兩邊和大於第三邊，) 同理，由於abc都不等，且整，那麼最小的c只能取5.
如果小慶譁於五，會得a+b<=c,不成三角。) 所以a+b>=c+2,兩邊平方，a^2+b^2+2ab>=c^2+4c+4,所以2ab>=4c+4
s=ab>=2*5+2, 所以面積最小12 . 譽扮行 而a^2+b^2=c^2 對所有滿缺滑足條件的abc,
7樓：種勇軍沐森
長方形的長、寬拍中、對角線即a、b、c構成直角三角形，a^2+b^2=c^2，面積s=ab/2，計算式中兩因數是直角邊，幾何面積的本底卻是代數，本題歸結為勾股數問題，古老而又龐頌賀拆雜野棗。常見的是最小的幾組；…及其整數倍數。有興趣的學者不妨再探勾股之謎。
若長方形對角線\長\寬均為正整數,則它的面積是12的倍數,為什麼?
8樓：網友
首先，長方形的對角線\長\寬就是一組勾股數。
要求一組勾股數就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整數解。
可以看出任意偶數2n(n＞1)，都可構成一組勾股數，三邊分別是：2n、n²-1、n²+1 等。可以算出。
2n）²+n²-1）²=（n²+1 ）²
以任意乙個大於1的奇數2n+1(n＞1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2nn²+2n、2n²+2n+1。同樣有（2n+1）²+2n²+2n）²=（2n²+2n+1）²
這樣，問題轉化為求證當n為大於1的正整數時。
2n）×（n²-1）、（2n+1）×（2n²+2n）都是12的倍數。
則可用數學歸納法。
n=2時，（2n）×（n²-1）=4*3=12，是12的倍數，成立；（2n+1）×（2n²+2n）=5*12=60，是12的倍數，成立。
設n=k時，（2k）×（k²-1）和（2k+1）×（2k²+2k）是12的倍數成立。
當n=k+1時，2(k+1)]*k+1)^2-1]=(2k+2)[(k+1+1)(k+1-1)]=(2k+2)[k(k+2)]=2k(k+1)(k+2)=2k(k+1)(k-1+3)
2k(k+1)(k-1)+6k(k+1)
2k(k^2-1)+6k(k+1)
根據假設，（2k）×（k²-1）能被12整除，而兩個相鄰正整數必有乙個是偶數，所以6k(k+1)能夠被12整除。
所以n=k+1時，[2(k+1)]*k+1)^2-1]能被12整除。
所以對n>1,有（2n）×（n²-1）是12的倍數。
成立綜上所述，若長方形對角線\長\寬均為正整數，則它的面積是12的倍數。
9樓：義桂花越嬋
長方形可以分成兩個直角三角形，對吧？兩個直角三角形的三邊都是正整數，則它滿足勾股定理，可能是3，4，5（或者擴大倍數），也可能是5，12，13.（同理）——我現在只想到這兩組勾股數。。。
你按照這樣算下，則他們形成的長方形都是12的倍數。
長方體長寬對角線都是整數都是整數，求證面積是12的倍數
10樓：化韋曲邰韋
n分別除以3後，長寬以及對角線都是整數意味著，在由長（a）寬（b）和對角線（c）構成的直角三角形中，c均為正整數。
所以a在矩形中；,<2,2>,m,(m-n),2>；（包含餘數對為<0,0>，即m≡n(mod
3)，則m和n中有乙個必能被皮旅3整除，又因為m,n,<,b，則m-n必能被3整除，又因為m，所以s能被12整除，a^2+b^2=c^2且a,(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；,<1,1>,n均為正整數）
所以矩形面積為s=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1,(m-n).若m,n除以3餘數相同，b,n,1>）
3,c滿足a=k(m^2-n^2);2,(m+n)其中至少有乙個是偶數，餘數之和為3或0，則(m+n)必能被3整除；1.若m,n中有乙個除以3餘0;）
2.若m,b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k；空羨（包含餘數有乙個鬥握拍為0的所有情況）
上面三種情況包含了所有餘數的情況。
綜上所述，s總能被12整除，又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有乙個是偶數，所以s能被12整除；（包含餘數對為<
11樓：寶夏彤蔚昊
底面長方形的對角線d=√(a²+c²)
dd'⊥b'd'
所以b'd²=dd'²+b'd'²=b²+a²+c²所以空御長方體對角線b'd==√a²+b²+c²)ps:對於問題補充鬥祥巖的：長方體的側稜垂直於底面，也垂直於底面上的任意一條直線宴伍，所以dd'⊥b'd'
12樓：將憶彤宓本
長a，寬老族b，對角線侍好弊c
勾襪虧股定理。
a:b:c=3:4:5
ab=3a*4a=12a^
所以面積是12
的倍數。
乙個矩形的長、寬和它的對角線都是整數,求證:矩形的面積是12的倍數.
13樓：國素蘭戈羅
長寬對角線為一對勾股數，而最小的一對正整數勾股數為鎮稿、設公比為x，那麼寬為3x，長為4x，面積為12x平方，即12的倍數。過程：因為長寬對角線為一對勾股數。
又因為最小的一對正整數勾股數為。所以長為3n，寬為4n面粗滾積則為12n的平方，所御凳孝以這個矩形的面積為的12倍數。
14樓：朱染昔癸
你好，矩形的長、寬和它的對角線構成了。
勾股。的三個量畢稿，符合都是整數的話，應該是(3a)²+4a)²=5a)²，那麼矩形的面積是3ax4a
12a²，所以裂州，矩肆數蔽形的面積是12的倍數。
15樓：賈恆首裳
若長，寬，對角線都是整數。
則其最悄孝小為3
設長為尺桐3x，寬為4y
則面積s=12xy
所以陵運坦。
為12的倍數。
16樓：弘菊俎水
符合都是整數的話，應該是橘檔(3a)²拆伍哪+(4a)²=5a)²，那麼矩旅碼形的面積是3ax4a
12a²，矩形的面積是12的倍數。
長方形的長、寬、對角線都是整數。求證：長方形的面積是12的倍數
17樓：匿名使用者
長寬高分別為a，b，c，所以a^2+b^2=c^2。由a，b，c都為整野早培數，可以從最小的整數開始代入計算，頌唯符合條件的為a=4,b=3,c=5(勾股定理睜遊)或者它們的整數倍。
長方形的面積=a*b=12（或者12的整數倍）
矩形的長 寬 對角線都為整數，證明 面積為12的倍數
18樓：新娘貢小公尺
根據勾股定理來看，長，寬，對角線都為整數。最小3,4,5。
設長 寬 對角線分別為 3k 4k 5ks=12k^2
所以都是12的倍數。
19樓：網友
如題，矩形的長寬和對角線都為整數，對角線的長度等於長和寬的平方和再開方。根據勾股玄定理，所以符合條件的最小整數是3，4，5。矩形的面積是長和寬的乘積，即：
3×4=12 ，故矩形的面積為12的倍數。
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