1樓：帳號已登出
結果應該為-πh^4/2 ,而不是-∏/2h^4 更不是0
解答：這道題目滿足高斯公式的條件，所以用高斯公式很簡單。先新增平面z=h，取上側。構成乙個封閉的曲面，這個封閉曲面整個外側方向。
於是∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫x+y+z）dxdydz -∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy(減去的這個積分曲面為z=h ，注最後一定要減去這個新增的平面)
先計算三重積分2∫∫∫x+y+z）dxdydz =2∫∫∫z dxdydz （這裡利用了對稱性，因為此三重積分的區域關於平面x=0和y=0對稱，且被積式分別為x和y的奇次方，所以它們的積分值為0 ）於是只需要計算 2∫∫∫z dxdydz =2∫（0,2π)dθ∫(0,h) ρdρ ∫h) z dz =πh^4/2
而∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy（積分曲面為z=h上側）=前兩項值為0，因為平面z=h分別向x=0 和y=0面投影時的面積為0（實際上投影面為乙個線段，知道為什麼為0嗎？這是因為dydz=cosα ds ,其中cosα=cos90°=0），所以曲面積分的值為0 。於是只需要計算後面∫∫z^2dxdy =∫h^2dxdy 這裡已經轉化為乙個二重積分了 ，根本不需要計算，直接=πh^4
最後結果為πh^4/2 - h^4 = h^4/2
2樓：勵韻嵇欣美
解：令p=2x，q=yz，r=-z²
p/αx=2，αq/αy=z，αr/αz=-2z∴根據高斯公式得。
原式=∫∫p/αx+αq/αy+αr/αz)dxdydz(v是s圍城的空間區域)
2-z)dxdydz
<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫
2-z)dz
應用柱面座標變換)
2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr=2π[(2/3)(2-r²)^3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
一道利用高斯公式求解第二類曲面積分的題目？
3樓：戶如樂
令p=2x,q=yz,r=-z²
p/αx=2,αq/αy=z,αr/αz=-2z∴根據高斯公式得。
原式=∫∫p/αx+αq/αy+αr/αz)dxdydz (v是s圍城的空間區域)
∫2-z)dxdydz
dθ∫rdr∫(2-z)dz (應用柱面座標變換)=2π∫[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr=2π[(2/3)(2-r²)^3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│
π2.,5,一道利用高斯公式求解第二類曲面積分的題目被積項是（2xdydz+yzdzdx-z^2dxdy）,s是由錐面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 與半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所圍成的區域邊界曲面的外側。
一道第二類曲面積分的題目（如圖），好像要用到高斯公式，不是很懂怎麼做，求解，謝謝！
4樓：東方欲曉
直接用對稱性做簡單一些。
1) 首先，z = 0 平面上的積分為零，因為 dz = 0.
2) 再看沿下半球面的積分：
ax/√(x^2+y^2+z^2+1) dzdy = 0, 因為它是有關 x 的奇函式在對稱區域積分。
同理：∫∫2ay/√(x^2+y^2+z^2+1) dzdx = 0∫∫2axy/√(x^2+y^2+z^2+1) dzdx = 0, 可以分別看第5, 6, 7, 8 象限的積分的絕對值相同。第5象限積分為正；第6象限為負；第7象限為正（負負得正）；第8象限為負。
所以，正負抵消，積分結果為零。
合二為一，此第二類曲面積分結果為零。
第二類曲面積分、高斯公式
5樓：匿名使用者
這個是典型的運用高斯公式進行求解的題目，在運用高斯公式時，必須保證積分曲面是乙個閉合曲面，並且曲面方向必須是向外側的。如果不是閉合曲面應該進行補充處理，如果不是外側，應新增負號。然後pqr分別對xyz求導後相加，進行體積分，一般利用柱座標或特殊形狀的體積公式就可以得到最後結果。
這道題的積分曲面是半球面上側，方向為正方向，但是應該補充z=0，方向向下的面進行閉合曲面補充。具體過程如下：
不懂可追問。
乙個題目，利用高斯公式計算曲面積分
6樓：匿名使用者
那個積分區域是指整個球面的下半部分：z ≤ 0。(注意不是球體)，所以是空心圓。
由方程z = 1 - x² -y²)可以看出，而上半部分就是z = 1 - x² -y²)，z ≥ 0
而下半球面的上側，可以想象你站在乙個碗上面，就是上側的方向了。
當替這個下半球面補上z ≤ 0這個面，相當於補上方向朝下的天花板。這個空間的方向都指向內測。
外側的話，考慮一塊圓球磁鐵，若磁鐵是n極的話，所有磁線的方向由磁鐵中心指向外面。
所以下半圓球的外側，即下側方向，就是指上側反轉180°的另乙個面，就像燈光從圓球裡面射出來就是例子了。上側的話，補的面不是天花板，而是地板了，補z ≥ 0這個面，方向朝上，所以整個封閉空間都指向外側。就符合運用高斯公式的條件。
利用高斯公式求解第二類曲面積分的題目
7樓：矯韋經思
由高斯公式：
被積項是（2xydydz+yzdzdx-z^2dxdy）=∫2y-z)dxdydz
2∫∫∫ydxdydz-∫∫zdxdydz=2∫∫∫ydxdydz-∫∫zdxdydz(對稱性，第1個積分0。第2個積分用截面法）=-0,1)zdz∫∫dxdy-∫(1,√2)zdz∫∫dxdy=-π0,1)z^3dz+∫(1,√2)z(2-z^2)dz]後面很簡單，自己試試？
利用高斯公式求解第二類曲面積分的題目
8樓：網友
由高斯公式：
被積項是（2xydydz+yzdzdx-z^2dxdy）=∫2y-z)dxdydz
2∫∫∫ydxdydz-∫∫zdxdydz=2∫∫∫ydxdydz-∫∫zdxdydz (對稱性，第1個積分0。第2個積分用截面法）
∫(0,1)zdz∫∫dxdy-∫(1,√2)zdz∫∫dxdy=-π0,1)z^3dz+∫(1,√2)z(2-z^2)dz]後面很簡單，自己試試？
一道利用高斯公式求解第二類曲面積分的題目
9樓：匿名使用者
解：令p=2x，q=yz，r=-z²
p/αx=2，αq/αy=z，αr/αz=-2z∴根據高斯公式得。
原式=∫∫p/αx+αq/αy+αr/αz)dxdydz (v是s圍城的空間區域)
∫∫2-z)dxdydz
<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫(2-z)dz (應用柱面座標變換)
2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr=2π[(2/3)(2-r²)^3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
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