1樓：蟲小羽
(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)
觀察這個式子，找出減號左右相同的部分
（1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4）那麼把上面的式子看作乙個整體，用字母m表示吧原式可以表示為
m+(1+1/2+1/3+1/4)×1/5-m-1/5×(1/2+1/3+1/4)
=(1+1/2+1/3+1/4)×1/5-1/5×(1/2+1/3+1/4)
=1/5
2樓：
=(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4)+(1+1/2+1/3+1/4)×1/5 -(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4)-1/5×(1/2+1/3+1/4)
=……懶得寫了，自己想吧
3樓：
左右兩邊都有（1＋1／2＋1／3＋1／4）×（1／2+1／3+1／4）可以抵消，剩下1／5×（1+1／2+1／3+1／4-1／2-1／3-1／4）即1／5×1＝1／5
數列求和 1+1/2+1/3+1/4+1/5+……1/n=? 急~
4樓：你愛我媽呀
利用「尤拉公式：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+c,c為尤拉常數數值是0.5772……
則1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+c=8.1821（約）
就不出具體數字的，如果n=100 那還可以求的 。然而這個n趨近於無窮 ，所以算不出的。
它是實數，所以它不是有理數就是無理數，而上兩層的人說「談不上到底是無理數還是有理數」的說法顯然是錯誤的。而根據種種依據可判斷它是無理數。
具體證明過程如下：
首先我們可以知道實數包括有理數和無理數，而有理數又包括有限小數和無限迴圈小數，有理數都可以劃成兩個有限互質整數相除的形式（整數除外）。而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)通分以後的分子和分母都是無窮大，不是有限整數，且不能約分，所以它不屬於有理數，因此它是無理數。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)不存在迴圈節，不可能根據等比數列知識劃成兩個互質整數相除的形式。所以它終究是無理數。
這是有名的調和級數,是高數中的東西。這題目用n!
當n->∞，1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n->∞，是個發散級數
當n很大時，有個近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ是尤拉常數，γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然對數（即以e為底的對數,e=2.71828...）
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
5樓：凌吟佳
當n很大時，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//c++裡面
用log(n)，pascal裡面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做尤拉常數
to gxq:
假設;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n
當 n很大時 sqrt(n+1)
= sqrt(n*(1+1/n))
= sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)
≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n))
= sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n))
設 s(n)=sqrt(n),
因為：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))
所以：s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n))
即求得s(n)的上限
1+1/2+1/3+…+1/n是沒有好的計算公式的，所有計算公式都是計算近似值的，且精確度不高。
自然數的倒數組成的數列,稱為調和數列.人們已經研究它幾百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當n很大時):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+c(c=0.57722......乙個無理數,稱作尤拉初始,專為調和級數所用)
人們傾向於認為它沒有乙個簡潔的求和公式.
但是,不是因為它是發散的,才沒有求和公式.相反的,例如等差數列是發散的,公比的絕對值大於1的等比數列也是發散的,它們都有求和公式.
6樓：匿名使用者
令 s(n) = 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n，
則 s(∞) = 1 + (1/2+1/3) + (1/4+1/5+1/6+1/7) + ...
< 1 + (1/2+1/2) + (1/4+1/4+1/4+1/4) + ...
且 s(∞) = 1 + 1/2 +(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...
> 1 + 1/2 +(1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ...
可推證：1 + k/2 < s(n) < 1 + k，其中 k = log(ln)/log(2)，n>2
從上式，可看出s(n)不收斂。
我不知道樓主是如何得到 sqrt(n) 上限的，
但可以肯定上式在更接近s(n)上限（當n>40時）。
看到這個問題，首先想到是叫「尤拉常數」的東西，但在網上遍尋不到，
而後決定用不等式，但如果對整體處理，誤差非常大，
所以，我決定分段處理，不想居然成功了！
7樓：匿名使用者
簡單,就是尤拉常數0.57721566490153286060651209+log(n)
簡便計算（1+1/2+1/3+1/4）×（1/2+1/3+1/4+1/5）-（1+1/2+1/3+1/4+1/5）×（1/2+1/3+1/4）
8樓：叫啥知不道
設a=（1/2+1/3+1/4），b=（1/2+1/3+1/4+1/5）
原式=（1+a）*b-（1+b）*a
=b+ab-a-ab
=b-a
=1/5
（1+1/2+1/3+1/4）×(1/2+1/3+1/4+1/5)－（1+1/2+1/3+1/4+1/5）×（1/2+1/3+1/4）=
9樓：
（1+1/2+1/3+1/4）×(1/2+1/3+1/4+1/5)－（1+1/2+1/3+1/4+1/5）×（1/2+1/3+1/4）
=（1/2+1/3+1/4）×(1/2+1/3+1/4+1/5)+(1/2+1/3+1/4+1/5)－（1+1/2+1/3+1/4+1/5）×（1/2+1/3+1/4）
=(1/2+1/3+1/4+1/5-1-1/2-1/3-1/4-1/5)）×（1/2+1/3+1/4）+(1/2+1/3+1/4+1/5)
=-1*(1/2+1/3+1/4)+1/2+1/3+1/4+1/5=1/5
簡便計算(1+2/1-3/1+4/1)×（1/2+1/3+1/4+1/5）-（1+1/2+1/3+1/4+1/5）x（1/2+1/3+1/4）
10樓：新野旁觀者
(1+1/2+1/3+1/4)×（1/2+1/3+1/4+1/5）-（1+1/2+1/3+1/4+1/5）x（1/2+1/3+1/4）
=（1/2+1/3+1/4+1/5）+（1/2+1/3+1/4）×（1/2+1/3+1/4+1/5）-（1/2+1/3+1/4）-（1/2+1/3+1/4+1/5）×（1/2+1/3+1/4）
=（1/2+1/3+1/4+1/5）-（1/2+1/3+1/4）=1/5
（1+1/2+1/3+1/4)*(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)*(1/2+1/3+1/4)
11樓：我不是他舅
令baia=1/2+1/3+1/4
則du1+1/2+1/3+1/4=1+a
容=(1+a)(a+1/5)-a(1+a+1/5)=a(1+a)+(1+a)*1/5-a(1+a)-a*1/5=(1+a)*1/5-a*1/5
=1/5+a*1/5-a*1/5
=1/5
12樓：匿名使用者
（1+1/2+1/3+1/4)*(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)*(1/2+1/3+1/4)
將1/2+1/3+1/4看成
乙個copy整體（看成x）
算是則成為：
（1+x)·(x+1/5)-(1+x+1/5)·x=1/5+a*1/5-a*1/5
其中x互相抵消就變成了
=1/5
13樓：匿名使用者
= [1*(1/2+1/3+1/4+1/5) + (1/2+1/3+1/4) * (1/2+1/3+1/4+1/5)]
-[1*(1/2+1/3+1/4) + (1/2+1/3+1/4+1/5)* (1/2+1/3+1/4)]
= (1/2+1/3+1/4+1/5) - (1/2+1/3+1/4)
+ (1/2+1/3+1/4) * (1/2+1/3+1/4+1/5) - (1/2+1/3+1/4+1/5)* (1/2+1/3+1/4)
= 1/2+1/3+1/4+1/5 - 1/2-1/3-1/4
= 1/5
夠詳細了吧！內容
14樓：匿名使用者
令a=1+1/2+1/3+1/4
b=1/2+1/3+1/4
原題即 a*（b+1/5）-（a+1/5）*b=（a-b）/5a-b=1 所以答案為1/5
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