1樓：匿名使用者
拓撲學是19世紀發展起來的乙個重要的幾何分支。早在尤拉或更早的時代，就已有拓撲學的萌芽。著名的「哥尼斯七橋問題」以及「麥比烏斯丁的《拓撲學初步》。
里斯丁是高斯的學生，2023年以後是哥根大學教授。他本想稱這個學科為」位置幾何學「，但這個名稱陶特用來指射影幾何。於是改用」topology」這個名字。
「topology"直譯的意思是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。2023年，統一的《數學名詞》把它確定成拓撲學。
拓撲學雖然是幾何學的乙個分支，但是這種幾何學又和通常的」平面幾何「、」立體幾何「不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的物件是點、線、面之間的機關位置以及它們的試題性質。拓撲學研究的內容與研究物件的長短、大海、面積、體積及試題性質和數量關係無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裡，把平面上的乙個圖形搬到另乙個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等圖形，也就是說，通常的平面幾何是研究在運動中大小和形狀都不變的學科，但是，在拓撲學裡所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素，每個圖形的大小、形狀中以改變。
里斯丁以後，黎曼把拓撲學的概念引入復變函式論中，發展成黎曼曲面論。
早期的拓撲學明顯地分為兩支：一是點集拓撲，以康託的貢獻為起點；另一支是組合拓撲，由上世紀末龐加萊所首創。龐加萊平時行支遲緩、笨拙，視力很差，常常給人心不在焉的印象。
可是，龐加萊具有超凡的心算和數學思維能力。龐國萊對20世紀數學影響十分浣。2023年，他出版了《analysissitus(位置分析）》，第一次系統地論述了拓樸學的內容。
後來被發展成20世紀極富有成果的拓樸學分支，龐加萊的研究領域十分廣泛。他在巴黎大學開設的講座包括毛細管學、彈性力學、熱力學、、光學、電學、宇宙學等，在數學方面還涉及非歐幾何，不變數理論、分析力學，包括概率論。
拓撲學是一門新興的學科，它一出現，很快就滲透到了各個領域裡去。
2樓：小松部落格
拓撲學拓撲學
拓撲學是數學中乙個重要的、基礎的分支。起初它是幾何學的一支，研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(所謂連續變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合)；現在已發展成為研究連續性現象的數學分支。由於連續性在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究物件與方法各異的若干分支。
在拓撲學的孕育階段，19世紀末，就已出現點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。現在，前者演化為一般拓撲學，後者則成為代數拓撲學。後來，又相繼出現了微分拓樸學、幾何拓撲學等分支。
在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體的尤拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：
能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到乙個明確、理想的答案還不那麼容易。
2023年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家尤拉，尤拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。尤拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。
經過進一步的分析，尤拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的「先聲」。
在拓撲學的發展歷史中，還有乙個著名而且重要的關於多面體的定理也和尤拉有關。這個定理內容是：如果乙個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：
f+v-e=2。
根據多面體的尤拉定理，可以得出這樣乙個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
著名的「四色問題」也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。
四色猜想的提出來自英國。2023年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裡來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：
「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。」
2023年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～2023年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的**，宣布證明了四色定理。
但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是乙個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的程序。2023年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。
不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是「拓撲學」的先聲。
什麼是拓撲學？
拓撲學的英文名是topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。我國早期曾經翻譯成「形勢幾何學」、「連續幾何學」、「一對一的連續變換群下的幾何學」，但是，這幾種譯名都不大好理解，2023年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的乙個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的物件是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究物件的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裡，把平面上的乙個圖形搬到另乙個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裡所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素，每乙個圖形的大小、形狀都可以改變。
例如，前面講的尤拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的乙個拓撲性質。
在拓撲學裡不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。左圖的三樣東西就是拓撲等價的，換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。
在乙個球面上任選一些點用不相交的線把它們連線起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
應該指出，環麵不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環麵切開，它不至於分成許多塊，只是變成乙個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環麵。所以球面和環麵在拓撲學中是不同的曲面。
直線上的點和線的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在2023年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。
拓撲變換的不變性、不變數還有很多，這裡不在介紹。
拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函式論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯絡各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函式關係。本世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。
比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全域性聯絡的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯絡。2023年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯絡，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。乙個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另乙個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。
現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學起初叫形勢分析學，這是g．w．萊布尼茨2023年提出的名詞。拓撲學這個詞(中文是音譯)是j．b．利斯廷2023年提出的，源自希臘文位置、形勢與學問。
2023年起，b．黎曼在復變函式的研究中提出，為了研究函式、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的系統研究。
組合拓撲學的奠基人是h．龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函式的單值化和關於微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題。他**了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動了g．康托爾從2023年起系統地了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念。如：
聚點、開集、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函式(即函式的函式)的概念。把函式集看成一種幾何物件並討論其中的極限，這終於導致了抽象空間的觀念。
拓撲問題的一些初等例子：
柯尼斯堡七橋問題(一筆劃問題)。乙個散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經過一次?這個18世紀的智力遊戲，被l．尤拉簡化為用細線畫出的網路能否一筆劃出的問題，然後他證明了這是根本辦不到的。
乙個網路能否被一筆畫出，與線條的長短曲直無關，只決定於其中的點與線的連線方式。設想乙個網路是用柔軟而有彈性的材料製作的，在它被彎曲、拉伸後，能否一筆畫出的性質是不會改變的。
尤拉的多面體公式與曲面的分類。尤拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數 、稜數 、面數 之間總有 這個關係。由此可證明正多面體只有五種。
如果多面體不是凸的而呈框形（圖33），則不管框的形狀如何，總有 。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質的差別，通俗地說，框形裡有個洞。
在連續變形下，凸體的表面可以變成球面，框的表面可以變成環麵（輪胎面）。這兩者都不能通過連續變形互變（圖34）。在連續變形下封門曲面有多少種不同型別？
怎樣鑑別他們？這曾是19世紀後半葉拓撲學研究的主要問題。
紐結問題。空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發生打結現象。要問乙個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變（如圖35中兩個三葉結能否互變）。
同時給出嚴格證明，那遠不是件容易的事了。
佈線問題（嵌入問題）。乙個複雜的網路能否布在平面上而又不自相交叉？做印製電路時自然會碰到這個問題。
圖36左面的圖，把一條對角線移到方形外面就可以布在平面上。但圖37中兩個圖卻無論怎樣移動都不能布在平面上。2023年k•庫拉托夫斯基證明，乙個網路是否能嵌入平面，就看其中是否不含有這兩個圖之一。
以上這些例子說明，幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。這些性質與長度、角度無關，它們所表現的是圖形整體結構方面的特徵。這種性質就是圖形的所謂拓撲性質。
誰曉得拓撲學通俗詳細的解釋下
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