1樓：善良的夏季賽
四元數用於表示旋轉
相對尤拉角的優點：
1)能進行增量旋轉
2)避免萬向鎖
3)給定方位的表達方式有兩種，互為負(尤拉角有無數種表達方式)
四元數的歷史
2樓：njqbz95馾
四元數是由哈密頓在2023年愛爾蘭發現的。當時他正研究擴充套件複數到更高的維次（複數可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數。
根據哈密頓記述，他於10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河（royal canal）上散步時突然想到的方程解。
之後哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（brougham bridge，現稱為金雀花橋 broom bridge）。這條方程放棄了交換律，是當時乙個極端的想法（那時還未發展出向量和矩陣）。
不只如此，哈密頓還創造了向量的內外積。他亦把四元數描繪成乙個有序的四重實數：乙個純量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。
若兩個純量部為零的四元數相乘，所得的純量部便是原來的兩個向量部的純量積的負值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發掘。
哈密頓之後繼續推廣四元數，並出了幾本書。最後一本《四元數的原理》（elements of quaternions）於他死後不久出版，長達八百多頁。
引入四元數有什麼意義？
3樓：匿名使用者
數學為很多自然科學提供了工具
四元數在物理中的應用：
簡單的說四元數應該應用在電磁物理學中，下文有講
(1)廣義相對論是一副絕世名畫,當很多人欣賞這個畫的時候,有的人看不太懂。以為這個是凡高的畫，你橫直看不懂的時候，除了讚美之外只能保持緘默不語。而當代還活著的廣義相對論畫家中，彭羅斯卻一意孤行，有了很高的見地。
從他的旋量手法出發，他幾乎乙個人做出了扭量（twistor），這是乙個曲高和寡的計畫。在扭量計畫中，一直以來物理學家習慣的時空點不再是最基本的。也就是說，時空點不是最基本的。
這確實是瘋狂了，凡高因為他的瘋狂割掉了自己的耳朵，最後還飲彈自戕。這是一種藝術的瘋狂，而彭羅斯渾身充滿了科學的理性的色彩，他生活在優美的世界裡，有美麗的妻子，安靜的日子。
會畫畫的人多數知道射影幾何。當乙個畫家站在野外寫生的時候，畫板豎立在面前，畫家看到一對平行的鐵路線，當在畫在紙上的時候，所有跟鐵路一起平行的線應該是交於乙個點的。這背後的數學就是射影幾何。
如果時空點不是最基本的，那麼什麼是最基本的呢？彭羅斯的答案是光線。
這個答案確實讓人感覺深刻地懵懂。但光線是世界上最重要的因素。在前面我們已經看到，上帝說要有光，於是就有了光。
同時，人類是有眼睛的生物，眼睛是最偉大的生物器官之一。上帝對多數人足夠仁慈，他不曾考驗多數男人，出過二難絕境：如果讓你失去眼睛，或者失去男根，二選一，你將做何選擇？
人的眼睛是很重要的，這是審美的工具，也是這個世界有意義的大部分理由。一條光線從遠處跑來，它一路經過了很多時空點，但在視網膜上僅僅是同一點。
在扭量計畫中，通俗地講，視網膜相當於扭量空間。所以，眼睛是心靈的窗戶，這句話背後完全有數學的基礎。人類通過講廢話達到相互確認，但心靈上總是感覺空虛，這原因在於，多數廢話背後沒有數學的基礎。
什麼是乙個扭量呢？？（這個問題的答案很長，讀者請漫漫往下讀，讀到最後就明白了。）
最簡單的說，乙個時空點r，需要（t，x，y，z）四個實數來刻畫。而這個點的四個實數相對於乙個原點,構成了乙個四維向量。這個四向量背後，有乙個美麗的故事。
對於三維向量，人們可以談論叉乘。也就是向量乘法，但這不是一件平庸的事情。也僅僅在三維中，乙個向量和另外乙個向量的叉乘，得到的還是乙個三維向量。
（2）威廉.哈密頓,歷史上最偉大的數學家之一。
2023年8月3日出生於愛爾蘭的都柏林，2023年9月2日卒於都柏林附近的敦辛克天文台。哈密頓是一位罕見的語言奇才。14歲時就學會了12種歐洲語言。
13歲就開始鑽研牛頓和拉普拉斯等人的經典著作。17歲時掌握了微積分，並在光學中有所發現。22歲時大學還未畢業就被聘任為他就讀的都柏林三一學院的教授，同時獲得「愛爾蘭皇家天文學家」的稱號。
哈密頓在物理學和數學領域裡都有傑出的成就，他是一位勤奮工作而酷愛真理的人。他和妻子在一起散步的橋頭，已經有乙個紀念碑。
四元數是由哈密爾頓在 2023年愛爾蘭發現的。愛爾蘭有乙個很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。
在電影《勇敢的心》中，有一柄長劍，叮地插在大地之上，長劍在風中微顫，你彷彿聽見愛爾蘭的英雄在高呼：freedom！！
在通往數學的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數是乙個豐碑。從物理學上講，它就是pauli矩陣，有了pauli矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是相互感應，而有了pauli矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。
當時他正研究擴充套件複數到更高的維次（複數可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數。根據哈密爾頓記述，他是於10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河散步,突然靈感撲面而來,他在橋上寫下乘法表:
i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。
這是乙個普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋（brougham bridge，現稱為金雀花橋 broom bridge）。
哈密頓創造了把四元數描繪成乙個有序的四重實數：乙個標量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。
根據上述乘法表，四元數顯然是複數的擴充，它將複數作為特殊形式包含在自身之中，它屬於超複數。但這種數對乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最後直覺地想到：必須犧牲交換律，於是第乙個非交換律的代數誕生了，在以前的乘法中,乘法是交換的,比如從小學數學開始,沒有人告訴你為什麼1x2=2x1,但這背後其實埋藏無窮秘密。
哈密頓的這個創造，把代數學從傳統的實數算術的束縛中解放出來，人們開始認識到數學既可來自現實世界的直接抽象也可以來自人類的思維的自由創造，這種思想引起了代數學領域的一次質的飛躍，現代抽象代數的閘門被開啟了。
我們知道，s0（n）群中，只有so（4）不是單李群。也只有在4維之上，霍奇運算元能把曲率映為曲率。也只有在4維歐空間之上，唐納森發現了無窮多微分結構。
loop量子引力被人詬病，因為她不能回答為什麼時空是4維的，但上帝用數學來回答。
在19世紀到20世紀，哈密頓之後，物理學家洛侖次寫了厚厚的《電子論》，lorentz的《the theory of electrons》總共三百多頁，
當時還沒有發現電子。這是歷史上乙個偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應該注意到，在洛侖次力公式
f=qe+vx b
出現了點乘與叉乘。
這個是乙個經典電動力學裡的假設,但可以相信,這個假設說明,在四元數中,結合方法必須既有點乘又有叉乘.這個假設是實驗證實的,所以洛侖次是偉大的.
電磁理論與四元數的結合是自然的，天然的，同時是微妙的。因為電磁場在4維時空才是天然的。
我們知道乙個3向量與乙個3向量的叉乘，但不知道如何把這種叉乘推到高維。能不能做到呢？？ gra**ann（1809-1877)生於德國stettin（今屬波蘭），曾經在柏林大學攻讀神學，哥廷根大學沒落之後,柏林大學似乎已經成為德國最出色的大學.
格拉斯曼大學畢業後長期在家鄉中學任教，業餘從事科學研究，成為梵文權威和數學家。2023年他了發表《線性擴張論》。建立了所謂的「擴張的量」（即有n個分量的超複數）的概念和運算法則，其中包括了非交換乘法和n維空間的重要思想，形成了張量理論的初步思想。
gras**ann代數又叫外代數，超對稱代數就是由poincare代數與外代數組成的。
clifford代數當然是數學家講旋量必須的出發點之一，數學家不講這個而談旋量顯得有點脫離潮流。
乙個很直接的看法是，n維向量空間上的外代數和n維向量空間（含內積）上面的clifford代數具有相同維數，全部是2的n次方維。這樣的話，作為有限維的向量空間，它們是同構的。但作為代數，它們不是一樣的事情。
clifford比外代數複雜一點，或者說，前者是後者的量子化或者畸變。
總的來說，外代數很重要，因為外微分很重要。clifford代數很重要，因為我們有複數，有四元數，我們希望推廣到更加高的維數，但一般的代數，到了8元數就終結了，要找新的代數，只能去發現clifford代數了。因為它作用在旋量之上，所以在下面的章節可以漫漫談來。
旋量由此產生，最早起源於嘉當。旋量與群論關係密切，但也可以說與clifford代數關係密切。比如物理學家比如咯興林的《高等量子力學》把dirac矩陣乘起來的16個矩陣叫做dirac群，其實這就是乙個clifford代數。
旋量具體來說就是n維度規空間上的正交群的表示。大家最熟悉的莫過於三維歐氏空間的轉動群so(3)的表示了，其最低維的雙值表示便是二維的旋量表示，這個是轉動群的通用覆蓋群的su(2)單值表示。把這個結果推廣到一般維數的空間。
其結果是：最低維旋量的表示維數是：2^ 當n是偶數的時候；
2^ 當n是奇數的時候。
當維數為六時，so(2,4) 的表示便是扭量。這是從抽象的代數語言來說扭量，扭量如何在時空點和光線空間實現對應呢？？
對於的關鍵在於，我們把四向量（t，x，y，z）用pauli 矩陣寫出來，或者說，用四元數寫出來。寫出來後是乙個矩陣。這個矩陣，記做n。
那麼，乙個扭量（z1，z2，z3，z4）滿足如下扭量方程。
z1 n n z3
z2 = n n z4
這個方程非常專業，跟愛因斯坦方程一樣是一副名畫。但不專業的讀者們可以暫時忘卻它，不能忘卻的是，扭量理論中最重要的是光線，光線最重要。
對於多數人來說，光線意味著光明。對相對論來說，光明意味著光線，也意味著扭量。
什麼是四元數四元數是什麼
四元數 quaternions 是由威廉 盧雲 哈密頓 william rowan hamilton,1805 1865 在1843年愛爾蘭發現的數學概念。四元數的乘法不符合交換律 mutative law 故 威廉 盧雲 哈密頓 它似乎破壞了科學知識中乙個最基本的原則。明確地說，四元數是複數的不可...
外面賣的五元四雙，十元八雙的襪子如何。
我這邊有純棉的地攤襪子，一雙。我不知道，想買，不過沒買過。我懷疑有可能不是純棉吧，猜測的，你可以自己試試。外面賣十元四雙的襪子，批發價是多少 今年原料漲價成本很高，也要看是什麼原料，全棉紗和滌紗不一樣，棉的一塊多，滌的七八毛。很便宜！不到一塊錢！我朋友批發過！在濟南那邊！當時好像是一快五兩雙！因為要...
甲數和乙數的比是四比五乙數和丙數的比是四比七甲乙丙三數的比是多少
4 5 16 20 4 7 20 35 甲乙丙三數的比是16 20 35 16 20 35甲乙丙 甲數和乙數的比是3 5,乙數和丙數的比是4 7,甲乙丙的比是多少?我們要先去5和4的最小公倍數，是20。再將甲和乙的比乘4 因為20 5 4 將乙和丙的比乘5 因為20 4 5 最後得出 甲和乙的比是1...